SOLUÇÕES ASTRONOMIA – SEMANA 28

SOLUÇÕES ASTRONOMIA – SEMANA 28

Iniciante

Como a luz solar incide apenas sobre uma das faces do cubo, temos que a energia absorvida por segundo é: $$\Phi=Ia$$. Sabemos também que, na mudança de estado, a energia total absorvida é igual a: $$\Delta mL$$. Então:

$$\Phi \Delta t = \Delta mL$$

$$Ia\Delta t=\Delta mL$$

$$\frac{\Delta m}{\Delta t}=\frac{Ia}{L}$$

Intermediário

A todo momento o fluxo de energia em um planeta pode ser descrito como

$$L_{incidente}=L_{refletido}+L_{absorvido}$$.

$$L_{refletido}=AL_{incidente}$$

$$(1-A)L_{incidente}=L_{absorvido}$$.

Como o planeta está proporcionalmente muito longe da estrela, a luminosidade incidente pode ser dada por:

$$L_{incidente}=I_{sol}a_{planeta}$$

$$L_{incidente}=(\frac{L}{4\pi r^2})(\pi R_{planeta}^2)$$

$$L_{incidente}=\frac{LR^2}{4r^2}$$

Para o caso em que o corpo está em equilíbrio térmico

$$L_{absorvido}=L_{emitido}=4\pi R^2\sigma T^4$$.

$$(1-A) \frac{LR^2}{4r^2}=4\pi R^2\sigma T^4$$.

$$T=\sqrt[4]{\frac{L(1-A)}{16\pi \sigma r^2}}$$

Avançado

(a) Similar ao exercício anterior:

$$L_{inc}=L_{ref}+L_{abs}$$

$$L_{inc}=I_{sol}a=\frac{L}{4\pi r_{T}^2}a$$

$$L_{ref}=AL_{inc}$$

$$P=\eta L_{abs}$$

Substituindo na 1ª equação:

$$\frac{L}{4\pi r_{T}^2}a_m(1-A)=\frac{P}{\eta}$$

$$a_m=\frac{4\pi r_{T}^2P}{L\eta (1-A)}$$

(b) No equilíbrio térmico:

$$L_{abs}=L_{emit}$$

$$\frac{L}{4\pi r_{T}^2}a(1-A)=a_e\sigma T^4$$

$$a_e=a\frac{L}{4\pi r_{T}^2} \frac{(1-A)}{\sigma T^4}$$

Substituindo $$a=a_m$$

$$a_{em}=\frac{P}{\eta \sigma T^4}$$

(c) Imagine duas circunferências concêntricas. A interna representa a Terra e a externa, a órbita do satélite. Se usarmos duas retas paralelas e tangentes à circunferência da Terra para representar sua sombra, temos:

$$(R+H)sen(\frac{\gamma}{2})=R$$

$$\frac{\gamma}{2\pi}=\frac{\Delta t}{\tau}$$

Sendo $$\gamma$$ o ângulo do arco da órbita que está na sombra e $$\tau$$ o período da órbita.

$$\frac{(R+H)^3}{\tau ^2}=\frac{GM_T}{4\pi ^2}$$

$$\tau =2\pi \sqrt{\frac{(R+H)^3}{GM_T}}$$

$$\Delta t =\gamma \sqrt{\frac{(R+H)^3}{GM_T}}$$

$$\Delta t =\sqrt{\frac{(R+H)^3}{GM_T}}*2arcsen(\frac{R}{R+H})$$

Para achar a temperatura mínima, lembre que:

$$L_{emit}=\frac{dE}{dt}=a_{e}\sigma T_{(t)}^4$$

$$dE=CdT_{(t)}$$

Sendo que a 1ª equação relaciona a irradiação de energia térmica com a temperatura e a 2ª relaciona a variação de energia com a variação de temperatura do satélite

$$C\frac{dT_{(t)}}{T_{(t)}^4}=a_{e}\sigma dt$$

Sabendo a fórmula básica de integral:

$$ \int ax^{n}dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1} $$

$$\int CT_{(t)}^{-4}dT_{(t)}=-\frac{C}{3}T_{(t)}^{-3}$$

$$\int a_{e}\sigma dt=a_{e}\sigma t$$

$$-\frac{C}{3}(\frac{1}{T_f^3}-\frac{1}{T^3})=a_{e}\sigma \Delta t$$

$$T_{f}=(\frac{1}{T^3}-\frac{3a_{e}\sigma}{C}\Delta t)^{-\frac{1}{3}}$$