SOLUÇÕES ASTRONOMIA – SEMANA 32

INICIANTE

Sabendo que as órbitas se cruzam em dois pontos diametralmente opostos, o intervalo de tempo entre os encontros é metade do período da órbita, então:

$\Delta t = \frac{T}{2} = 1,5h$

$T=3h$

$\frac{a^3}{T^2}=\frac{GM_{Terra}}{4\pi ^2}$

$a=10570km$

INTERMEDIÁRIO

Para a órbita do irmão que caiu na Terra:

$a_p=\frac{a+R_T}{2}$

$v_{pf}=\sqrt{GM_T(\frac{2}{a}-\frac{1}{a_p})}$

$v_{pf}=5336m/s$

Como as órbitas iniciais dos dois irmãos têm o mesmo raio:

$v_{pi}=v{vi}=\sqrt{\frac{GM_T}{a}}=6153m/s$

Conservando momento na direção da órbita do irmão perdedor:

$mv_{vi}\cos (30^{\circ})+mv_{pi}=mv_{vfx}+mv_{pf}$

$v_{vfx}=v_{vi}(1+\cos(30^{\circ}))-v_{pf}$

$v_{vf}^2=(v_{vi}\sin (30^{\circ}))^2+v_{vfx}^2$

$v_{vf}=6873m/s$

Para encontrar a excentricidade, partimos da equação para velocidade na órbita, já usada anteriormente.

$v=\sqrt{GM(\frac{2}{r}-\frac{1}{a})}$

$a=\frac{1}{2/r-v^2/GM}$

Nesse caso

$r=a(1-e)$

$\frac{1-e}{r}=\frac{2}{r}-\frac{v^2}{GM}$

$e=\frac{v_{vf}^2a}{GM_T}-1$

$e=0,25$

Também podia ser usada a equação genérica para encontrar a excentricidade:

$e=\sqrt{1+\frac{2\epsilon h^2}{\mu ^2}}$

Onde: $\epsilon=\frac{v^2}{2}-\frac{GM}{r}=-\frac{GM}{2a}$ é a energia específica do sistema; $h=\frac{L}{m}=vr\sin (\theta )$ é o momento angular específico do sistema; e $\mu = GM$ é o parâmetro gravitacional.

AVANÇADO

Para resolver este problema, ajuda fazê-lo de trás para frente. Partindo da superfície:

$a_h=\frac{a+R_T}{2}$

$\frac{a_h^3}{T_h^2}=\frac{GM_T}{4\pi ^2}$

$\Delta t_1=\frac{T_h}{2}$

$\Delta t_1=1,08h$

No tempo $\Delta t_1$ antes de pousar, a nave passava de uma órbita circular para a de transferência, então antes disso ela levou

$\Delta t_2 = \frac{T}{4} = 0,75h$

depois de alterar a inclinação. E, no momento em que a nave mudava a inclinação da órbita, ela se encontrava sobre o equador na longitude:

$\lambda _1=\lambda + \frac{15^{\circ }}{1h} (\Delta t_1 + \Delta t_2)+90^{\circ }$

$\lambda _1=72,45^{\circ}E$

Agora é só encontrar o tempo que leva para que a nave vá de $\lambda _0$ até $\lambda _1$

$\omega =\frac{360^{\circ}}{T}-\frac{15^{\circ }}{1h}$

$\omega \Delta t_3=\lambda _1 - \lambda _0$

$\Delta t_3 = 0,40h$

$\Delta t_t=\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3$

$\Delta t_t = 2,23h$