SOLUÇÕES ASTRONOMIA – SEMANA 32

INICIANTE

Sabendo que as órbitas se cruzam em dois pontos diametralmente opostos, o intervalo de tempo entre os encontros é metade do período da órbita, então:

$$\Delta t = \frac{T}{2} = 1,5h$$

$$T=3h$$

$$\frac{a^3}{T^2}=\frac{GM_{Terra}}{4\pi ^2}$$

$$a=10570km$$

INTERMEDIÁRIO

Para a órbita do irmão que caiu na Terra:

$$a_p=\frac{a+R_T}{2}$$

$$v_{pf}=\sqrt{GM_T(\frac{2}{a}-\frac{1}{a_p})}$$

$$v_{pf}=5336m/s$$

Como as órbitas iniciais dos dois irmãos têm o mesmo raio:

$$v_{pi}=v{vi}=\sqrt{\frac{GM_T}{a}}=6153m/s$$

Conservando momento na direção da órbita do irmão perdedor:

$$mv_{vi}\cos (30^{\circ})+mv_{pi}=mv_{vfx}+mv_{pf}$$

$$v_{vfx}=v_{vi}(1+\cos(30^{\circ}))-v_{pf}$$

$$v_{vf}^2=(v_{vi}\sin (30^{\circ}))^2+v_{vfx}^2$$

$$v_{vf}=6873m/s$$

Para encontrar a excentricidade, partimos da equação para velocidade na órbita, já usada anteriormente.

$$v=\sqrt{GM(\frac{2}{r}-\frac{1}{a})}$$

$$a=\frac{1}{2/r-v^2/GM}$$

Nesse caso

$$r=a(1-e)$$

$$\frac{1-e}{r}=\frac{2}{r}-\frac{v^2}{GM}$$

$$e=\frac{v_{vf}^2a}{GM_T}-1$$

$$e=0,25$$

Também podia ser usada a equação genérica para encontrar a excentricidade:

$$e=\sqrt{1+\frac{2\epsilon h^2}{\mu ^2}}$$

Onde: $$\epsilon=\frac{v^2}{2}-\frac{GM}{r}=-\frac{GM}{2a}$$ é a energia específica do sistema; $$h=\frac{L}{m}=vr\sin (\theta )$$ é o momento angular específico do sistema; e $$\mu = GM$$ é o parâmetro gravitacional.

AVANÇADO

Para resolver este problema, ajuda fazê-lo de trás para frente. Partindo da superfície:

$$a_h=\frac{a+R_T}{2}$$

$$\frac{a_h^3}{T_h^2}=\frac{GM_T}{4\pi ^2}$$

$$\Delta t_1=\frac{T_h}{2}$$

$$\Delta t_1=1,08h$$

No tempo $$\Delta t_1$$ antes de pousar, a nave passava de uma órbita circular para a de transferência, então antes disso ela levou

$$\Delta t_2 = \frac{T}{4} = 0,75h$$

depois de alterar a inclinação. E, no momento em que a nave mudava a inclinação da órbita, ela se encontrava sobre o equador na longitude:

$$\lambda _1=\lambda + \frac{15^{\circ }}{1h} (\Delta t_1 + \Delta t_2)+90^{\circ }$$

$$\lambda _1=72,45^{\circ}E$$

Agora é só encontrar o tempo que leva para que a nave vá de $$\lambda _0$$ até $$\lambda _1$$

$$\omega =\frac{360^{\circ}}{T}-\frac{15^{\circ }}{1h} $$

$$\omega \Delta t_3=\lambda _1 – \lambda _0$$

$$\Delta t_3 = 0,40h$$

$$\Delta t_t=\Delta t_1+\Delta t_2+\Delta t_3$$

$$\Delta t_t = 2,23h$$