INICIANTE
Pela Lei do Deslocamento de Wien temos:
$$\lambda_{pico} T = 2,9{\cdot}10^-3 m {\cdot} K$$
$$ T = \frac{2,9{\cdot}10^-3 m {\cdot} K}{500 {\cdot} 10^-9 m}$$
$$T = 5800K $$
INTERMEDIÁRIO
Se o universo é plano e feito somente de matéria, pode-se partir da gravitação de Newton:
$$m{\ddot R} = – \frac{GM(R)m}{R^2}$$
$${\ddot R} = – \frac{GM(R)}{R^2}$$
Mas, $$M(R) = {\frac{4\pi}{3}}{R(t)^3}{\rho(t)}$$:
$${\ddot R} = – \frac{G{\frac{4\pi}{3}}{R(t)^3}{\rho(t)}}{R(t)^2}$$
$${\ddot R} = – \frac{G{\frac{4\pi}{3}}{R(t)^2}{\rho(t)}}{R(t)^2}$$
$${\ddot R} = – \frac{4 \pi G \rho(t) R(t)}{3}$$
$${\ddot R} = – \frac{4 \pi G \rho(t) R(t)}{3}$$
Mas, $$R(t) = a(t) \cdot r_0$$, onde $$r_0$$ é a distância comóvel:
$$r_0{\ddot a} = – \frac{4 \pi G \rho(t) a(t) r_0}{3}$$
$${\ddot a} = – \frac{4 \pi G \rho(t) a(t)}{3}$$ (Equação da aceleração na formulação newtoniana)
Substituindo na equação do parâmetro de desaceleração:
$$q = \frac{4 \pi G \rho(t) a(t)^2}{3({\dot a})^2}$$
Para encontrar a densidade crítica, partiremos da equação da aceleração na formulação newtoniana. A densidade crítica é, por definição, a densidade de um universo descrito por geometria euclideana, isto é, com curvatura zero.
$${\ddot a} = – \frac{4 \pi G \rho(t) a(t)}{3}$$
$${\ddot a} + \frac{4 \pi G \rho(t) a(t)}{3}= 0$$
Multiplicando a equação por $$\dot a$$
$${\ddot a}{\dot a} + \frac{4 \pi G \rho(t) a(t)}{3} {\dot a}= 0$$
$$\rho(t) =\frac{\rho_0}{a(t)^3}$$
$${\ddot a}{\dot a} + \frac{4 \pi G \rho_0}{3a(t)^2} {\dot a}= 0$$
Notando-se que $$2{\ddot a}{\dot a} = {\frac{d}{dt}}[(\dot a)^2]$$ e que $$\frac{\dot a}{a^2} = – {\frac{d}{dt}}[\frac{1}{a}]$$, temos:
$$\frac{1}{2}{\frac{d}{dt}}[(\dot a)^2] – \frac{4 \pi G \rho_0}{3}{\frac{d}{dt}}[\frac{1}{a}] = 0$$
$${\frac{d}{dt}}[(\dot a)^2 – \frac{8 \pi G \rho_0}{3}{\frac{1}{a}}] = 0$$
$$(\dot a)^2 – \frac{8 \pi G \rho_0}{3}{\frac{1}{a}} = k$$
Para um universo plano, $$k = 0$$;
logo:
$$(\dot a)^2 = \frac{8 \pi G \rho_0}{3}{\frac{1}{a(t)}}$$
mas, $$\rho(t)a(t)^3 = \rho_0$$
$$(\dot a)^2 = \frac{8 \pi G \rho_c a(t)^2}{3}$$
Resolvendo para $$\rho_c$$
$$\rho_c = \frac{3(\frac{\dot a}{a})^2}{8 \pi G}$$
O parâmetro de densidade será:
$$\Omega = \frac {\rho(t)}{\rho_c}$$
$$\Omega = \frac{8 \pi G \rho(t) a(t)^2}{3({\dot a})^2}$$
Dividindo $$q$$ por $$\Omega$$:
$$\frac{q}{\Omega} = 1/2$$
AVANÇADO
a) Primeiramente, devemos converter para coordenadas eclípticas:
Figura 1: esfera para conversão de coordenadas equatoriais (2019) em coordenadas eclípticas, a distância angular entre os pontos $$PCN$$ e $$PNE$$ é $$23^{\circ}27’$$ .
Pela lei dos cossenos, obtemos a latitude eclíptica:
$$sen\beta = sen\delta_{2019} cos 23^{\circ}27′ – cos \delta sen 23^{\circ}27′ sen \alpha_{2019} $$
$$\beta = 39^{\circ}36’43,06″$$
Pela lei dos senos, obtemos a longitude eclíptica:
$$cos\lambda_{2019} = \frac{cos \delta_{2019}}{cos\beta} cos\alpha$$
$$\lambda_{2019} = 104^{\circ}20’57,5″$$
Agora, convertamos as coordenadas de 2019 para as da data. Para isso, calculemos a variação na longitude eclíptica:
$$\Delta \lambda = \frac{2019-(-2700)}{25772} {360}^{\circ}$$
$$\Delta \lambda =65^{\circ}55’4,98″$$
Logo:
$$\lambda_{data} = \lambda_{2019} – \Delta \lambda$$
$$\lambda_{data} = 38^{\circ}25’52,59″$$
Figura 2: esfera de precessão.
Calculemos o ângulo $$\theta$$:
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo Estrela – PCN2019 – PNE:
$$cos\theta = \frac{sen\delta_{2019} – cos 23^{\circ}27’sen\beta }{sen 23^{\circ}27′ cos\beta}$$
$$\theta = 14^{\circ}20’57,57″$$
Calculemos a declinação de Sírius na data:
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo Estrela – PCN Data – PNE:
$$sen\delta_{Data} = cos 23^{\circ}27’sen\beta + sen 23^{\circ}27’cos\beta cos(\Delta \lambda – \theta)$$
$$\delta_{Data} = -23^{\circ}13’35,58″$$
Agora, calculemos a ascensão reta na data:
Figura 3: esfera para conversão de coordenadas eclípticas em equatoriais da data, a distância angular entre os pontos $$PCN$$ e $$PNE$$ é $$23^{\circ}27’$$ .
Pela lei dos senos:
$$cos\alpha_{data}= \frac{cos \beta}{cos\delta_{Data}} cos\lambda_{Data}$$
$$\alpha_{Data}= 3^h 15^{min} 48,23^s$$
b) De agora em diante, não serão mais usados os códigos 2019 e Data, pois todos os ângulos serão trabalhados na data.
Para calcular o tempo sideral, lembremos a sua definição:
$$t = \alpha + H$$
Calculemos $$H$$, o ângulo horário:
No nascer, o ângulo horário será:
$$H = – arccos(-tan\phi tan \delta)$$
$$ H = – 5^h 10^{min} 56,74^s$$
Logo, t será:
$$t = 22^h4^{min}51,49^s$$
c) Para obter a longitude eclíptica do Sol, primeiro deveremos conhecer sua ascensão reta. Como não podemos assumir que o Sol esteja na mesma declinação de Sírius, necessariamente, não podemos dizer que seu ângulo horário é o mesmo. Temos a equação $$\alpha_{Sol} + H_{Sol} = t$$, com duas incógnitas. Para resolver o problema, precisamos de outra equação também com essas duas incógnitas.
Similar ao que fizemos para Sírius, temos:
$$H_{Sol}= – arccos(-tan\phi tan \delta_{Sol})$$
No entanto, podemos encontrar $$ tan \delta_{Sol}$$ em função de $$\alpha_{Sol}$$
Figura 4, conversão de coordenadas eclípticas em equatoriais do Sol. Créditos: BOCZKO, Roberto – Conceitos de Astronomia.
Pela lei do cosseno-cosseno:
$$cos\alpha_{Sol} cos 90^{\circ} = sen \alpha_{Sol} cot \delta_{Sol} – sen 90^{\circ} cot \epsilon$$
$$tan \delta_{Sol} = tan\epsilon sen\alpha_{Sol}$$
Substituindo:
$$cos H_{Sol}= (-tan\phi tan\epsilon sen\alpha_{Sol})$$
Temos a nossa segunda equação!
sejam $$tan\phi tan\epsilon = k $$
$$H_{Sol} = x$$
$$\alpha_{Sol} = y$$
Logo:
$$t=x+y$$
$$cos x = -kseny$$
Pelo seno da soma, temos:
$$sen t =senxcosy+senycosx$$
$$sen t = \sqrt{1-cos^2 x}\sqrt{1-sen^2 y} -ksen^2 y$$
Seja $$sen t = u$$ e $$sen^2 y = v$$
Resolvendo para v:
$$u+kv= \sqrt{(1-k^2 v)(1-v)}$$
Elevando a equação ao quadrado:
$$u^2 + 2kuv + k^2v^2 = (1-k^2 v)(1-v)$$
$$u^2 + 2kuv + k^2v^2 = 1-v-k^2v+k^2v^2$$
$$v=\frac{1-u^2}{1+2ku+k^2}$$
$$\alpha_{Sol} =4^h 52^{min} 16,06^s$$
Da figura 4 e da lei do cosseno-cosseno, tiramos que:
$$tan \lambda_{Sol} = \frac{tan\alpha_{Sol}}{cos\epsilon}$$
$$\lambda_{Sol}=74^{\circ}23’40,2″$$
d) Os equinócios ocorrem quando a longitude eclíptica do Sol é $$0^{\circ}$$ ou $$180^{\circ}$$.
$$\lambda = \lambda_0 + N \frac{360}{365}$$, onde N é o número de dias.
Resolvendo para N:
$$N=({\lambda – \lambda_0}) \frac{365}{360}$$
Onde $$ \lambda_0 = 74^{\circ}23’40,2″$$
Resolvendo:
$$N_0 = 284,6$$; ou o dia 44 da Colheita
$$N_{180^{\circ}} = 107,1$$; ou o dia 107 da Cheia
e)Os solstícios ocorrem quando o Sol tem longitude eclíptica $$90^{\circ}$$ e $$270^{\circ}$$.
Utilizando a mesma equação do item D:
$$N=({\lambda – \lambda_0}) \frac{365}{360}$$
$$N_{90^{\circ}} = 15,8$$; ou o dia 15 da Cheia.
$$N_{270^{\circ}} = 198,3 $$; ou o dia 78 da Emergência.