INICIANTE
As faixas de cores da bandeira da França são azul, branco e vermelho. Quando olhamos uma galáxia obliquamente, se considerarmos seu centro como estacionário, um lado está se aproximando, ficando mais azulado devido ao efeito Doppler, enquanto o outro lado está se afastando, ficando avermelhado. Se considerarmos o centro da galáxia como branco, sua coloração segue o padrão da bandeira da França.
INTERMEDIÁRIO
Sabemos pelo enunciado que a data é 25/06. Portanto, podemos estimar a ascensão reta do Sol:
$$2 \frac{h}{mes}$$
$$3$$ $$meses$$ após 23/3
então $$\alpha = 6h$$
Com isso podemos achar o ângulo horário do Sol:
$$TSL = \alpha + H_S$$
$$H_S=4h45m$$
Para calcularmos o ângulo horário da Lua, basta lembrarmos que ela percorre, em relação ao Sol no céu, 360º em 29 dias, então:
$$\frac{8}{29}=\frac{\Delta H}{24h}$$
$$\Delta H = 6h37m$$
Como a Lua se afasta do Sol no sentido Oeste para Leste:
$$H_L=H_S+12h-\Delta H$$ (somamos 12h porque contamos a partir da Lua cheia)
$$H_L=10h08m$$
Como $$H_L>6h$$ e $$H_L<18h$$, não conseguimos ver a Lua.
Para calcularmos a altura da Lua, temos que saber sua declinação. Pelo triângulo esférico retângulo do ponto Vernal até a Lua, perpendicular no encontro do equador com o meridiano:
$$cos(\alpha _L) cos(90)=cot(\delta _L) sen(\alpha _L) – cot(\epsilon) sen(90)$$
$$0=cot(\delta _L) sen(\alpha _L) – cot(\epsilon)$$
$$tan(\delta _L) = tan(\epsilon) sen(\alpha _L)$$ Sendo $$\epsilon=23,5^{\circ}$$
$$\delta _L=-3^{\circ}$$
Fazendo um triângulo para passar de coordenadas horárias para altazimutais (Zênite – Pólo Celeste Sul – Lua):
$$cos(90-h)=cos(90-|\phi|)cos(90-\delta _L)+sen(90-|\phi|)sen(90-\delta _L)cos(H_L)$$
$$sen(h)=sen(|\phi|)sen(\delta _L)+cos(|\phi|)cos(\delta _L)cos(H_L)$$
$$h=-56^{\circ}$$
AVANÇADO
Considerando um universo dominado por matéria (aproximação) e plano
Por conservação de energia:
$$\frac{\dot r ^2}{2}-\frac{GM}{r}=E$$
$$\frac{\dot a ^2 r_0 ^2}{2}-\frac{4\pi G \rho a^3 r_0 ^3}{3a r_0}=0$$
$$\frac{\dot a ^2}{2}=\frac{4\pi G \rho a^2}{3}$$
$$H^2=(\frac{\dot a}{a})^2=\frac{8\pi G \rho}{3}$$
$$\rho = \frac{\rho _0}{a^3}$$
$$H^2=\frac{H _0 ^2}{a^3}$$
$$\frac{\dot a}{a}=\frac{H_0}{a^{3/2}}$$
$$a^{1/2} da=H_0 dt$$
$$\frac{2}{3}a^{3/2}=H_0 t $$
$$t_0 \Rightarrow a=1$$
$$t_0 = \frac{2}{3H_0}$$