Soluções Astronomia – Semana 40

INICIANTE

Usemos a fórmula da resolução angular:

$\theta=1.22\frac{\lambda}{D}$

Isolando D:

$D=1.22\frac{\lambda}{\theta}$

Calculando $\theta$:

Como Bruna é muito pequena e está muito longe, o ângulo que ela compreende no campo de visão de Luã é pequeno o suficiente para utilizarmos a aproximação do pequeno ângulo:

$\theta=\frac{h}{d}$

$\theta=10^{-6}rad$

Substituindo para calcular o diâmetro:

$D=0.67m$

INTERMEDIÁRIO

Adotemos a seguinte convenção, a lente barlow é a origem de um plano cartesiano e a direção para a qual a luz vai é positiva.

Utilizando a relação de Gauss para lentes esféricas delgadas:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}$

Da magnificação da Barlow, temos que:

$-\frac{p'}{p}=m$

$-\frac{p'}{p}=5$

Temos então que:

$-\frac{5}{p'}=\frac{1}{p}$

Substituindo na relação de Gauss para lentes esféricas delgadas:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{p'}-\frac{5}{p'}$

$\frac{1}{f}=-\frac{4}{p'}$

$p'=-4f$

A distância focal da barlow será negativa, visto que ela é uma lente côncava:

$p'=-4(-0.5)$

$p'=2 cm$

Mas a distância até o plano focal será a distância do objeto, logo:

$p=-\frac{p'}{5}$

$p=-0.4 cm$

Agora, calculando o tamanho angular de Bruna no telescópio:

Calculemos a magnificação do telescópio sem a Barlow:

Como ele é um f/5, a distância focal será:

$f=5*0.67$

$f=3.35 m$

Assim, a magnificação será:

$m=\frac{f_{ob}}{f_{oc}}$

$m=134$

Com a barlow, isto será:

$m'=5m$

$m'=670$

Assim, o tamanho angular de Bruna no telescópio será:

${\theta}'=m'\theta$

${\theta}'=6.7 {\cdot}10^{-4} rad$

${\theta}'=138''$

Para calcular a pupila de saída e consequentemente determinar se a imagem de Bruna cabe na ocular, basta dividir o campo da ocular pela magnificação:

$pupila=54^{\circ}/670$

$pupila=290''$

Como a imagem de Bruna é menor do que a pupila, consequentemente, ela cabe na ocular!

AVANÇADO

Num disco de acreção, é razoável assumir que cada anel de espessura $dr$ está numa órbita kepleriana de raio $r$. Assim, temos que a energia mecânica desse anel será:

$dE=\frac{dE}{dr}dr=\frac{d}{dr}(-\frac{GMm}{2r})dr$

$dE=\frac{GMm}{2r^2}dr$

Mas a massa do disco de acreção $m$ é a taxa de acreção $\dot M$ multipicada pelo tempo $t$ na qual ela passa no disco de acreção:

$dE=\frac{GM\dot M t}{2r^2}dr$

Para encontrar a luminosidade de um anel:

$dL t=dE=\frac{GM\dot M t}{2r^2}dr$

$dL=\frac{GM\dot M}{2r^2}dr$

Para encontrar a temperatura do anel a um raio R, aproximaremos o disco de acreção como um corpo negro:

$dL=2(2\pi r dr) \sigma T^4$

$T=(\frac{GM\dot M}{8\pi \sigma R^3})^{1/4}(\frac{R}{r})^{3/4}$

A luminosidade total do disco será encontrada integrando de $R$ a $\infty$

$L=\frac{GM\dot M}{2R}$

Para calcular a luminosidade total de acreção, assumiremos que a taxa de massa vem do infinito com velocidade 0.

Sendo assim:

$U+K=0$

$K=-U$

A luminosidade total da acreção será:

$L_{acc}=\frac{dK}{dt}=\frac{GM \dot{M}}{R}$

A eficiência de acreção é, por definição:

$\eta=\frac{L_{acc}}{\dot M c^2}$

$\eta=\frac{GM}{Rc^2}$