INICIANTE
Usemos a fórmula da resolução angular:
$$\theta=1.22\frac{\lambda}{D}$$
Isolando D:
$$D=1.22\frac{\lambda}{\theta}$$
Calculando $$\theta$$:
Como Bruna é muito pequena e está muito longe, o ângulo que ela compreende no campo de visão de Luã é pequeno o suficiente para utilizarmos a aproximação do pequeno ângulo:
$$\theta=\frac{h}{d}$$
$$\theta=10^{-6}rad$$
Substituindo para calcular o diâmetro:
$$D=0.67m$$
INTERMEDIÁRIO
Adotemos a seguinte convenção, a lente barlow é a origem de um plano cartesiano e a direção para a qual a luz vai é positiva.
Utilizando a relação de Gauss para lentes esféricas delgadas:
$$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p’}$$
Da magnificação da Barlow, temos que:
$$-\frac{p’}{p}=m$$
$$-\frac{p’}{p}=5$$
Temos então que:
$$-\frac{5}{p’}=\frac{1}{p}$$
Substituindo na relação de Gauss para lentes esféricas delgadas:
$$\frac{1}{f}=\frac{1}{p’}-\frac{5}{p’}$$
$$\frac{1}{f}=-\frac{4}{p’}$$
$$p’=-4f$$
A distância focal da barlow será negativa, visto que ela é uma lente côncava:
$$p’=-4(-0.5)$$
$$p’=2 cm$$
Mas a distância até o plano focal será a distância do objeto, logo:
$$p=-\frac{p’}{5}$$
$$p=-0.4 cm$$
Agora, calculando o tamanho angular de Bruna no telescópio:
Calculemos a magnificação do telescópio sem a Barlow:
Como ele é um f/5, a distância focal será:
$$f=5*0.67$$
$$f=3.35 m$$
Assim, a magnificação será:
$$m=\frac{f_{ob}}{f_{oc}}$$
$$m=134$$
Com a barlow, isto será:
$$m’=5m$$
$$m’=670$$
Assim, o tamanho angular de Bruna no telescópio será:
$${\theta}’=m’\theta$$
$${\theta}’=6.7 {\cdot}10^{-4} rad$$
$${\theta}’=138”$$
Para calcular a pupila de saída e consequentemente determinar se a imagem de Bruna cabe na ocular, basta dividir o campo da ocular pela magnificação:
$$pupila=54^{\circ}/670$$
$$pupila=290”$$
Como a imagem de Bruna é menor do que a pupila, consequentemente, ela cabe na ocular!
AVANÇADO
Num disco de acreção, é razoável assumir que cada anel de espessura $$dr$$ está numa órbita kepleriana de raio $$r$$. Assim, temos que a energia mecânica desse anel será:
$$dE=\frac{dE}{dr}dr=\frac{d}{dr}(-\frac{GMm}{2r})dr$$
$$dE=\frac{GMm}{2r^2}dr$$
Mas a massa do disco de acreção $$m$$ é a taxa de acreção $$\dot M$$ multipicada pelo tempo $$t$$ na qual ela passa no disco de acreção:
$$dE=\frac{GM\dot M t}{2r^2}dr$$
Para encontrar a luminosidade de um anel:
$$dL t=dE=\frac{GM\dot M t}{2r^2}dr$$
$$dL=\frac{GM\dot M}{2r^2}dr$$
Para encontrar a temperatura do anel a um raio R, aproximaremos o disco de acreção como um corpo negro:
$$dL=2(2\pi r dr) \sigma T^4$$
$$T=(\frac{GM\dot M}{8\pi \sigma R^3})^{1/4}(\frac{R}{r})^{3/4}$$
A luminosidade total do disco será encontrada integrando de $$R$$ a $$\infty$$
$$L=\frac{GM\dot M}{2R}$$
Para calcular a luminosidade total de acreção, assumiremos que a taxa de massa vem do infinito com velocidade 0.
Sendo assim:
$$U+K=0$$
$$K=-U$$
A luminosidade total da acreção será:
$$L_{acc}=\frac{dK}{dt}=\frac{GM \dot{M}}{R}$$
A eficiência de acreção é, por definição:
$$\eta=\frac{L_{acc}}{\dot M c^2}$$
$$\eta=\frac{GM}{Rc^2}$$