INICIANTE
a) A distância de uma estrela pode ser determinada a partir da paralaxe trigonométrica da seguinte maneira:
$$d(pc)=\frac{a(UA)}{p(“)}$$
Onde $$a$$ é o semi-eixo maior da orbita do planeta a partir do qual se mede o ângulo paralático $$p$$.
Calculando para a Terra, onde $$a=1 UA$$:
$$d=40 pc$$
b)Utilizando o módulo da distância, temos:
$$m-M=5log(d)-5$$
Substituindo valores e resolvendo para $$M$$, temos:
$$M=-1$$
c) Adaptando a Lei de Pogson para magnitudes absolutas e luminosidades (Análogo à magnitudes aparentes e fluxos):
$$M-M_{\odot}=-2,5log(\frac{L}{L_{\odot}})$$
Substituindo valores e resolvendo para $$L$$, temos:
$$L=211 L_{\odot}$$
INTERMEDIÁRIO
As duas soluções do problema diferem porque os azimutes das estrelas podem ser iguais ou separados por $$180^{\circ}$$.
Primeiro, para o caso em que ambas as estrelas têm mesmo azimute:
Utilizando a figura, vemos que o dobro da distância polar é a diferença de alturas. Assim, encontramos a declinação:
$$2\cdot(90^{\circ}-|\delta|)=60^{\circ}-10^{\circ}$$
$$\delta=-65^{\circ}$$
Ainda utilizando a figura, vemos que o módulo da latitude é dado pela soma da menor altura com a distância polar ou a diferença entre a maior altura e a distância polar.
$$|\phi|=10^{\circ}+(90^{\circ}-|\delta|)$$
$$\phi=-35^{\circ}$$
Segundo, para o caso em que as estrelas tem azimutes separados de $$180^{\circ}$$:
Pela figura, vemos que a soma das alturas com o dobro da distância polar deve ser igual a $$180^{\circ}$$.
$$2\cdot(90^{\circ}-|\delta|)+60^{\circ}+10^{\circ}=180^{\circ}$$
$$\delta=-35^{\circ}$$
Agora, calculemos a latitude $$\phi$$:
Somando a distância polar com a menor das alturas obtemos o módulo da latitude.
$$|\phi|=(90^{\circ}-|\delta|)+10^{\circ}$$
Finalmente:
$$\phi=-65^{\circ}$$
AVANÇADO
Este problema pode ser resolvido pensando sobre o que são matéria, radiação e sobre o conceito de energia escura fornecido no problema.
a) A partir da famosa equação $$E=mc^2$$ podemos chegar numa relação entre densidade de energia e densidade de matéria:
$$E=mc^2$$
Dividindo ambos os lados pelo volume do universo, $$V$$:
$$\epsilon=\rho c^2$$
Onde $$\epsilon$$ é a densidade de energia e $$\rho$$ é a densidade de matéria.
Assim, conclui-se que $$\epsilon$$ e $$\rho$$ são diretamente proporcionais.
Se a densidade é inversamente proporcional ao volume e, consequentemente, inversamente proporcional ao cubo do raio do universo, que, por sua vez, é proporcional ao fator de escala, temos que a densidade é inversamente proporcional ao cubo do fator de escala. Temos assim:
$$\rho=\rho_0\cdot a^{-3}$$
$$\epsilon=\epsilon_0\cdot a^{-3}$$
Onde $$\rho_0$$ e $$\epsilon_0$$ são as densidades de matéria e de energia atualmente.
b) Assim como a matéria, a densidade de fótons cairá com o cubo do fator de escala. No entanto, a energia dos fótons é inversamente proporcional ao comprimento de onda, que, por ser um comprimento, é proporcional ao fator de escala, logo, a energia de um fóton somente será inversamente proporcional ao fator de escala. Juntando esses dois fatores, temos que a energia da radiação será inversamente proporcional à quarta potência do fator de escala.
Assim:
$$\epsilon=\epsilon_0\cdot a^{-4}$$
c) Se a energia escura é a energia do espaço vazio e somente há energia escura, quer dizer que este universo é vazio!
Logo, à medida que ele expande mais espaço vazio é criado e, dessa forma, mais energia escura é gerada. Assim, a densidade de energia escura é constante, e consequentemente, a densidade de energia total desse universo, em específico, também.