INICIANTE
Para resolvermos esse exercício, devemos primeiramente recordado do conceito de energia de um fóton, dada por
$$E=h\cdot\nu$$
onde $$\nu$$ é a frequência. Como a velocidade de uma onda eletromagnética no ar pode ser dada por
$$c=\lambda\cdot\nu$$
Podemos escrever
$$E=\frac{h\cdot c}{\lambda}$$
Utilizando o conceito de potência, temos, para $$\Delta t$$=1 s,
$$n=\frac{P\cdot\lambda}{h\cdot c}$$
$$n=8,3\cdot10^{25} fotons$$
INTERMEDIÁRIO
Para resolvermos esse problema, temos que ter em mente o conceito de horizonte observado em um local de altitude superior ao nível do mar.
Assim, para que Raul passe a enxergar Polaris, deverá ver 3,7^{\circ} abaixo do horizonte local. Assim, por trigonometria,
Logo,
$$cos{\phi}=\frac{R_{T}}{R_{T}+h_m}$$
$$h_m=\frac{R_{T}(1-cos{\phi})}{cos{\phi}}$$
$$\Delta h=\frac{R_{T}(1-cos{\phi})}{cos{\phi}}-h$$
$$\Delta h=13,2 km$$
AVANÇADO
Inicialmente, para resolvermos o exercício, devemos esquematizar as informações dadas em uma esfera celeste
Além disso, devemos perceber que o deslocamento angular horizontal dado $$(9,75^{circ})$$ corresponde, por trigonometria esférica, à diferença de azimute $$\Delta A$$ entre as posições em 1 e 2 ($$\Delta t=0,5 h$$). Temos, então
com $$\omega=\frac{360^{\circ}}{24h}=15^{\circ}/h$$.
$$cos{\Delta A}= cos{\overline{h_{1}}}cos{\overline{h_{2}}}+sen{\overline{h_{1}}}sen{\overline{h_{2}}}cos{\omega\Delta t}$$
$$\overline{h_{1}}=\phi$$
$$cos{\Delta A}= cos{\phi}sen{h_{2}}+sen{\phi}cos{h_{2}}cos{\omega\Delta t}$$
$$sen{h_{2}}= \frac{ cos{\Delta A}-sen{\phi}cos{h_{2}}cos{\omega\Delta t}}{cos{\phi}}$$
Substituindo os valores e isolando $$h_{2}$$, pelo método iterativo, temos
$$h_{2}=39,5^{\circ}$$
O tamanho da sombra da pessoa será, portanto, de
$$ tan{h_{2}}=\frac{a}{s}$$
$$s=2,18 m$$