INICIANTE
Podemos encontrar a distância do planeta à estrela pela Terceira Lei de Kepler:
$$\dfrac{P^2}{r^3} = \dfrac{4\cdot \pi^2}{G\cdot M} \Longrightarrow r = \left( \dfrac{G\cdot M\cdot P^2}{4\cdot \pi^2} \right)^{\frac{1}{3}}$$ (1)
A potência $$L’$$ absorvida pelo planeta será dada por:
$$ L’ = f\cdot A\cdot (1-a_p) \Longrightarrow P =\dfrac{L}{4\cdot \pi \cdot r^2} \cdot \pi \cdot R^2 \cdot (1-a_p) $$
Em que $$f$$ é o fluxo da estrela a uma distância $$r$$ e $$A$$ é a área da secção transversal do planeta. Como somente metade do planeta vai ser iluminado, podemos calcular a sua temperatura $$T$$ pela formula (Lei de Stefan-Boltzmann):
$$L’ = 2\cdot \pi \cdot R^2 \cdot \sigma \cdot T^4 = \dfrac{L}{4\cdot r^2}\cdot R^2 \cdot (1-a_p) \Longrightarrow T =\left[ \dfrac{L\cdot (1-a_p)}{8\cdot \pi \cdot \sigma \cdot r^2} \right]^{\frac{1}{4}}$$ (2)
Finalmente, substituindo (1) em (2):
$$\boxed{T = \left(\dfrac{\pi}{32}\right)^{\frac{1}{12}}\cdot\left[\dfrac{L\cdot (1-a_p)}{\sigma}\right]^{\frac{1}{4}}\cdot \left[\dfrac{1}{G\cdot M\cdot P^2}\right]^{\frac{1}{6}}}$$
INTERMEDIÁRIO
Em um sistema de dois corpos de massa $$m_1$$ e $$m_2$$ separados por uma distância $$r$$ e orbitando o centro de massa do sistema às distâncias $$r_1$$ e $$r_2$$ respectivamente, temos (para o corpo 2):
$$r_2 = \dfrac{m_1}{m_1 + m_2}\cdot r,$$ $$\omega^2\cdot r_2 = \dfrac{G\cdot m_1}{r^2} \Longrightarrow \omega^2 = \dfrac{G\cdot (m_1 + m_2)}{r^3}$$
Agora vamos calcular a distância h do ponto $$L_1$$ (Primeiro Ponto de Lagrange) em relação ao satélite, onde as forças gravitacionais juntas promovem a aceleração necessária para que um corpo inicie uma orbita circular em torno do corpo mais massivo com a mesma velocidade angular $$\omega$$ do satélite:
$$\omega^2\cdot (r_2-h) = \dfrac{G\cdot m_1}{(r-h)^2}-\dfrac{G\cdot m_2}{h^2} \Longrightarrow \dfrac{m_1+m_2}{r^3}\cdot (r_2-h)=\dfrac{m_1}{(r-h)^2}-\dfrac{m_2}{h^2}$$
Multiplicando ambos os lados por $$\frac{r^2}{m_2}$$ e utilizando a aproximação dada no enunciado:
$$\dfrac{m_1}{m_2} – \left(1+\dfrac{m_1}{m_2}\right)\cdot \dfrac{h}{r} = \dfrac{m_1}{m_2}\cdot\left(1-\dfrac{h}{r}\right)^{-2} – \dfrac{r^2}{h^2} \approx \dfrac{m_1}{m_2}\cdot \left(1+\dfrac{2h}{r}\right) – \dfrac{r^2}{h^2}$$
Com $$z=\frac{h}{r}$$ e $$\rho = \frac{m_1}{m_2}$$:
$$\rho – (1+\rho)\cdot z = \rho \cdot(1+2z) – z^{-2} \Longrightarrow z^3\cdot (3\rho +1) = 1 \Longrightarrow z = \left( \dfrac{1}{3\rho+1}\right)^{\frac{1}{3}}\Longrightarrow h = r \cdot \left( \dfrac{m_2}{3m_1+m_2} \right)^{\frac{1}{3}}$$
Logo, como $$m_1>>m_2$$:
$$\boxed{h \approx r \cdot \left( \dfrac{m_2}{3m_1} \right)^{\frac{1}{3}}}$$
Portanto, para a Lua, o raio da Esfera da Esfera de Hill vale:
$$\boxed{h \approx 6,17\cdot 10^7 \, m}$$
Obs.: um satélite estacionário em relação a superfície da Lua ficaria a uma distância teórica $$h’= 86500km$$, porém, como $$h’>h$$, essa orbita não seria possível, o satélite seria atraído para a Terra.
AVANÇADO
Inicialmente podemos encontrar o semi-eixo maior e a excentricidade de sua orbita:
$$a = \dfrac{r_p+r_a}{2} = 17,8\, U.A.,$$ $$r_a = a\cdot(1+e) \Rightarrow e \approx 0,96629$$
Utilizando a formula da resolução angular mínima de um telescópio, podemos encontrar a distância mínima $$r$$ para que o cometa seja resolvido pelo telescópio ($$\lambda=550 \cdot 10^{-9} \, m$$):
$$\theta = \dfrac{2R}{r} = \dfrac{1,22\cdot \lambda}{D}\Rightarrow r = \dfrac{R\cdot D}{0,61\cdot \lambda} \Longrightarrow r \approx 1,6393\cdot 10^{11}\, m$$
Obs.: como a magnitude limite do telescópio ($$m_t = +17,12$$) é maior que a magnitude aparente do cometa nas distâncias em que ele pode ser resolvido ($$m_c < + 15,84$$), o cometa é visível e pode ser resolvido nessas distâncias.
Com a 2ª Lei de Kepler:
$$p =\dfrac{\Delta t}{P}=\dfrac{A’}{A_t}$$
Em que $$p = \frac{\Delta t}{P}$$ é a probabilidade do observador resolver o cometa em um dia qualquer. Assim, devemos encontrar a razão entre a área percorrida pela reta que liga o cometa e o Sol enquanto ele pode ser resolvido pelo telescópio e a área total ($$A_t = \pi\cdot a\cdot b$$). Pelas propriedades da elipse:
$$a^2 = a^2\cdot e^2 + b^2 \Rightarrow b = a\sqrt{1-e^2}\Longrightarrow b \approx 4,583 \, U.A. \Longrightarrow A_t \approx 5,74\cdot 10^{24} \, m^2$$
Para encontrarmos a área: $$A’ = 2\cdot (A_1 +A_2)$$, em que $$A_1$$ é a área do triângulo hachurado na Figura 1 e $$A_2$$ é a área delimitada pelo arco $$\stackrel\frown{EC}$$ e pelos segmentos de reta $$\overline{CC’}$$ e $$\overline{C’E}$$.
Em que $$f$$ é a anomalia verdadeira da orbita, que pode ser calculada da seguinte forma:
$$r = a\cdot \dfrac{1-e^2}{1+e\cdot \cos{f}} \Rightarrow f = \cos^{-1}\left({\dfrac{a(1-e^2) -r}{e\cdot r}}\right)\Rightarrow f \approx 1,4914\, rad$$
$$\therefore A_1 = \dfrac{r^2\cdot \sin{f}\cdot \cos{f}}{2} \Longrightarrow A_1 \approx 1,0621\cdot 10^{21}\, m^2$$
Para encontrar o valor de $$A_2$$:
$$A_2 =\displaystyle \int_{-a}^{-ae-r\cdot\cos{f}}{ f(x) \, dx},$$
Equação da Elipse:
$$\left(\dfrac{x}{a}\right)^2+\left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1 \Rightarrow f(x) = y = b\cdot \sqrt{1-\left(\dfrac{x}{a}\right)^2}\Longrightarrow A_2 = b\cdot \displaystyle\int_{-a}^{-ae-r\cdot\cos{f}} \sqrt{1-\left(\dfrac{x}{a}\right)^2}\, dx $$
Com $$x = a\cdot \sin{u}\Rightarrow dx = a\cdot \cos{u}\, du$$:
$$A_2 = a\cdot b\cdot \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\sin^{-1}{\left(e+\frac{r\cdot \cos{f}}{a}\right)}} \cos^2{u} \, du= \dfrac{a\cdot b}{2}\cdot \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\sin^{-1}{\left(e+\frac{r\cdot \cos{f}}{a}\right)}} \cos{2u}+1 \, du$$
$$A_2 \approx a\cdot b\cdot \left[\dfrac{\sin{2u}}{4}+\dfrac{u}{2}\right]_{-1,5708}^{-1,3301}\Longrightarrow A_2 \approx 8,3873\cdot 10^{21}\, m^2 \Longrightarrow A’ \approx 1,89\cdot 10^{22}\, m^2$$
Portanto:
$$\boxed{p \approx 0,33\%}$$