Soluções Astronomia – Semana 68

INICIANTE

Primeiramente, podemos encontrar o comprimento de onda do pico de emissão ($\lambda_e$) pela Lei de Wien:

$\lambda_eT=b$

$\lambda_e=362nm$

Agora, utilizamos o Efeito Doppler para encontrar o comprimento de onda percebido. Como a velocidade é muito alta, precisamos utilizar o Efeito Doppler relaivístico:

$z=\frac{\lambda_m-\lambda_e}{\lambda_e}=\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}-1$

$\lambda_m=387nm$

$f_m=\frac{c}{\lambda_m}=7,75 \times 10^{14}Hz$

Assim, a cor percebida é azul, pois o comprimento de onda corresponde ao ultravioleta.

INTERMEDIÁRIO

Primeiramente, precisamos calcular a distância focal da objetiva, $F_{ob}$. Ela é formada por duas lentes justapostas, que possuem vergências $C_1$ e $C_2$, logo F é dado por:

$\frac{1}{F_{ob}}=C=C_1+C_2=\frac{1}{F_1}+\frac{1}{F_2}$, pois a vergência de duas lentes justapostas é a soma das vergências individuais

Agora, precisamos calcular as distâncias focais individuais $F_1$ e $F_2$. Para isso, a utilização da fórmula dos fabricantes de lente é necessária. Logo:

$\frac{1}{F_1}=(n_1-1)(\frac{1}{2R} - \frac{1}{R})$

$\frac{1}{F_2}=(n_2-1)(\frac{1}{R} + \frac{1}{R})$

Lembre-se de tomar cuidado com os sinais!

Rearranjando as 3 equações que nos dão $F_{ob}$, obtemos:

$F_{ob}=\frac{2R}{4n_2-n_1-3}$

Pelo estudo de telescópios refratores Keplerianos (aula do Curso Noic), sabemos que o comprimento $L$ desse tipo de telescópio é:

$L=F_{ob}+F_{oc}$, onde o segundo termo corresponde à distância focal da ocular, que pode ser encontrada à partir do aumento $A$:

Por definição:

$A=\frac{F_{ob}}{F_{oc}}=5 \Rightarrow F_{oc}=\frac{F_{ob}}{5}$

Logo:

$L=\frac{6}{5}F_{ob}=\frac{12R}{20n_2 - 5(n_1+3)}$

 

 

AVANÇADO

a)

Os raios que viajam mais perto do corpo gravitacional se dobrarão mais. Assim, obtemos o ponto de convergência mais próximo que será onde os raios tangentes a superície do sol se encontram

$\theta_b=\dfrac{2R_{sch}}{R_{Sol}} \approx \dfrac{R_{Sol}}{f_{min}}$

$\therefore f_{min}=\dfrac{R_{Sol}^2}{2R_{sch}}=\dfrac{R_{Sol}^2c^2}{4GM_{Sol}}$

$f_{min}=547.3U.A.$

b)

$f_2 =\dfrac{(R_{Sol}+h)^2}{2R_sch}$

Usando o mesmo argumento do item a
para angulos pequenos,

$a=(f_2-f_{min}) \theta_2$

$=\left[\dfrac{(R_{Sol}+h)^2}{2R_{sch}} - \dfrac{R_{Sol}^2}{2R_{sch}} \right] \dfrac {2R_{sch}}{(R_{Sol}+h)}=\dfrac{2R_{Sol}h+h^2}{(R_{Sol}+h)}$

$\approx 2h$

Sendo a intensidade original $I_0$
O fluxo no detector na presnça do Sol $\phi_{Sol}=I_0 2\pi R_{Sol} h$
O fluxo no detector na ausencia do Sol $\phi_0=I_0 \pi a^2$
Portanto a ampliação será

$A_m=\dfrac{\phi_{Sol}}{\phi_0}=\dfrac{I_0 2\pi R_{Sol} h}{I_0 \pi a^2}=\dfrac{R_{Sol}}{a}$

c)

$f_i=\dfrac{r_i}{2r_{sch}}=\dfrac{r_i^2 c^2}{4GM(r_i)}$

Usando o mesmo argumento do item a

como é nescessário que $f_1=f_2$

$\dfrac{r_1^2}{r_2^2}=\dfrac{M(r_1)}{M(r_2)}$

Portanto a distribuição de mass ideal é $M(r)\propto r^2$