INICIANTE
Inicialmente podemos utilizar a 3ª Lei de Kepler $$\left(T_a = \dfrac{T_u}{2}\right)$$ para encontrar o semi-eixo maior do asteroide $$a_a$$:
$$\dfrac{T_a^2}{a_a^3} = \dfrac{T_u^2}{a_u^3} \Longrightarrow a_a = a_u\cdot \left( \dfrac{T_a}{T_u} \right)^{\frac{2}{3}}$$
$$a_a = a_u \cdot 2^{-\frac{2}{3}}$$
Para que as orbitas se interceptem, a distância do afélio do asteroide deve ser maior que o raio da órbita de Urano ($$e$$ é a excentricidade da orbita):
$$a_a \cdot (1+e) \geq a_u \Longrightarrow 1+e \geq 2^{\frac{2}{3}}$$
$$e \geq 2^{\frac{2}{3}}-1 \Longrightarrow e \geq 0,587$$
Assim, como a orbita é fechada $$1>e \geq 0,587$$, no caso de menor excentricidade:
$$\boxed{e = 0,587}$$
INTERMEDIÁRIO
Primeiramente, temos o seguinte desenho:
a) Temos, pela lei dos Senos:
$$\frac{r}{sin\alpha}=\frac{a}{sin\theta} \Rightarrow r=a \frac{sin\alpha}{sin\theta}$$
Para calcular $$\theta$$, devemos tomar cuidado com os funções trigonométricas inversas da calculadora.
*as bolinhas estão na ordem invertida
- $$\phi=0,84$$: $$\theta=cos^{-1}(2\phi – 1)$$. Obtemos $$cos\theta = 0,68$$, logo nosso $$\theta$$ poderia matematicamente valer $$47,2^{\circ}$$ ou $$312,8^{\circ}$$, porém o seno da última opção é negativo, que faz com que $$r$$ seja negativo, fazendo com que $$47,2^{\circ}$$ seja o valor correto de $$\theta$$. Assim, $$r=0,7276UA$$
- $$\phi=0,0209$$: $$\theta=cos^{-1}(2\phi – 1)$$. Obtemos $$cos\theta = -0.582$$, logo nosso $$\theta$$ poderia matematicamente valer $$125,6^{\circ}$$ ou $$234,4^{\circ}$$, porém o seno da última opção é negativo, que faz com que $$r$$ seja negativo, fazendo com que $$125,6^{\circ}$$ seja o valor correto de $$\theta$$. Assim, $$r=0,7186UA$$
b) A soma das distâncias ao periélio e afélio ao Sol devem valer $$2A$$, onde $$A$$ é o semieixo maior de Vênus. Pelo gráfico, podemos estimar que $$d_{per}=0,718UA$$ e $$d_{afe}=0,728UA$$. Note que, por ser uma estimativa, o range de valores aceitos numa prova seria grande. Assim, $$A=\frac{d_{per}+d_{afe}}{2}=0,723UA$$
c) Sabemos que $$d_{per}=A-C=A(1-e)$$, logo $$e=1-\frac{d_{per}}{A} \approx 0,007$$. Esse mesmo resultado também seria obtido usando que $$d_{afe}=A(1+e)$$
**Se você quiser ver de onde a expressão de $$\phi (\theta)$$ vem, olhe este (avançado) problema da semana. Os itens c) para frente envolvem cálculo, logo fica a seu critério resolvê-los.
AVANÇADO
a)
$$\dfrac{sen(LHA*)}{sen z}=\dfrac{sen A}{sen(90-\delta)} $$
$$LHA*=sen^{-1}\left(\dfrac{senA senz}{cos\delta}\right)$$
$$LHA*=sen^{-1}\left(\dfrac{sen109^{\circ}sen37.5^{\circ}}{cos(-8^{\circ}11′)}\right)$$
$$LHA*=35.46^{\circ}=2h22min$$
$$LHA=24h-2h22min=21h38min$$
b)
Quando for 01:00 de 21 de novembro em Bangkok será 18:00 de 20 de novembro no tempo universal(UT)
Número do dia + horário = 323dias 18h
GST=GST em 1 de janeiro + o angula que $$\gamma$$ se move desde 1 de janeiro
$$GST=6h 43min +\left(323\dfrac{18}{24}dias\right) \left( \dfrac{1}{365.2422}\right) \cdot 24\dfrac{h}{dia}+\left[18h\cdot \left(\dfrac{42}{23.9344}\right)\right]$$
$$GST=6h43min+21h16min+18h3min$$
$$GST=46h2min$$
$$GST=21h58min$$
c)
$$24h-LHA=RA-LST$$
$$LST=RA-24h+LHA$$
$$L=RA+LHA-GST$$
$$L=5h15mim+21h38min-21h58min=4h55min$$
$$L=73.75^{\circ}$$
d)
$$cos(90-\delta)=cos z cos(90-\phi)+sen z sen(90-\phi)cos A$$
$$sen\delta=sen h sen\phi+cos h cos\phi cos A$$
$$\alpha= sen\delta, \beta=sen h, \gamma=cos h cos A, x=sen\phi$$
$$\alpha=\beta x+\gamma\sqrt{1-x^2}$$
$$(\beta ^2 +\gamma^2 )x^2 -2\alpha \beta x +(\alpha ^2 -\gamma ^2 )= 0$$
$$x=\dfrac{\alpha \beta \pm \gamma \sqrt{\gamma ^2 + \beta ^2 -\alpha ^2}}{\beta ^2+\gamma ^2}$$
$$\phi=-24.05^{\circ} ou 4.01^{\circ}$$
para $$\phi=-24.05^{\circ} \rightarrow A=71^{\circ}$$
para $$\phi=4.01^{\circ}\rightarrow A=109^{\circ}$$
Portanto $$\phi=4.01^{\circ}$$