Soluções Astronomia – Semana 82

INICIANTE

a) Para calcular a escala de placa devemos lembrar da fórmula:

$p=\dfrac{1}{f}$

Segundo o desenho a garrafa possui 30cm de comprimento, mas, como o resultado deve ser dado em rad/mm, utilizaremos 300mm nos cálculos.

$p = \dfrac{1}{300}\rightarrow \boxed{p = 3,\overline{3} \cdot 10^{-3} \dfrac{rad}{mm} }$

b)O campo de visão de um telescópio utilizado para observação visual é definido pela seguinte relação:

$FOV=\dfrac{AFOV}{A}$

Já o aumento (A) pode ser calculado utilizando:

$A=\dfrac{f_{tel}}{f_{ocu}}$

Como o telescópio possui 300mm de distância focal e a ocular 25mm:

$A=\dfrac{300}{25}\rightarrow A=12x$

Como encontramos o A e o enunciado nos deu o AFOV:

$FOV=\dfrac{70^{\circ}}{12}\rightarrow{}\boxed{FOV=5^{\circ}50'}$

INTERMEDIÁRIO

Já que $m<<M$ podemos escrever a terceira lei de Kepler como:

$p^2=a^3\cdot\dfrac{4\pi^2}{GM}$

$\therefore p=\sqrt{\dfrac{a^34\pi^2}{GM}}$

Já que:

$f_{orb}=\dfrac{1}{p}\rightarrow{}\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{GM}{a^3}}$

$f_{grav}=2f_{orb}\rightarrow{}\dfrac{1}{\pi}\sqrt{\dfrac{GM}{a^3}}$

Como a questão pede para utilizar $\dfrac{M}{M_\odot}$:

$\dfrac{R}{R_\odot}=\left(\dfrac{M}{M_\odot}\right)^\alpha \rightarrow R=R_\odot \left(\dfrac{M}{M_\odot}\right)^\alpha$

Dado que a frequência será máxima quando $a=R$:

$f_{grav}=\dfrac{1}{\pi}\sqrt{\dfrac{GM}{R^3}}$

$\therefore f_{grav}=\dfrac{1}{\pi}\sqrt{\dfrac{GM}{R_\odot^3}} \left(\dfrac{M_\odot}{M}\right)^\dfrac{3\alpha}{2}$

$f_{grav}=\dfrac{1}{\pi}\sqrt{\dfrac{GM_\odot}{R_\odot^3}} \left(\dfrac{M_\odot}{M}\right)^\dfrac{(3\alpha - 1)}{2}$

$\boxed{f_{grav}=\dfrac{1}{\pi}\sqrt{\dfrac{GM_\odot}{R_\odot^3}} \left(\dfrac{M}{M_\odot}\right)^\dfrac{(1-3\alpha)}{2}}$

AVANÇADO

a) Primeiramente, calcula-se o valor de $H_0$ com base na idade do universo:

$t_u=\dfrac{1}{H_0} \rightarrow H_0=\dfrac{1}{t_u}$

Transformando $t_u$ em segundos e aplicando na fórmula:

$H_0\approx2,3\cdot 10^{-18} \cdot \dfrac{1}{s}$

Curiosamente, esse é exatamente o resultado que precisamos, indica que em uma região de comprimento y, o espaço expandiu $2,3\cdot 10^{-18}\cdot y$ em 1 segundo, o parâmetro x que procuramos. Você poderia realizar a transformação para unidades mais usuais e realizar o caminho inverso, mas chegaria no mesmo resultado, como demonstrado abaixo:

Alterando a unidade para o usual:

$H_0=2,3\cdot 10^{-18} \cdot \dfrac{1000000 \cdot 206265 \cdot 1.496 \cdot 10^{11}}{1000}$

$H_0\approx70,9 \cdot \dfrac{km}{s \cdot Mpc}$

Ou seja, a cada segundo, um espaço de $1 \ Mpc$ expande $70,9 \ km$, aplicando esses dados para encontrar x:

$x=\dfrac{70,9km}{1 Mpc} \rightarrow{} \dfrac{70,9\cdot1000m}{1000000\cdot206265\cdot1,496\cdot10^{11}m}$

$x\approx2,3\cdot 10^{-18}$

Aplicando a fórmula cedida no problema:

$d=\dfrac{c(e^{xt}-1)}{x} \rightarrow{} d\approx5,17\cdot10^{25}m$

Transformando em anos-luz:

$\boxed{d \approx 5,46\cdot10^{9} \ anos-luz}$

b)Manipulando a equação cedida:

$d=\dfrac{c(e^{x\cdot t}-1)}{x}$

$\dfrac{d\cdot x}{c} + 1 = e^{x\cdot t}$

$\ln \left( \dfrac{d\cdot x}{c} + 1\right) = x\cdot t$

$t = \dfrac {\ln \left( \dfrac{d\cdot x}{c} + 1\right)}{x}$

Transformando anos-luz em metros:

$d = (21 \cdot 10^{9}) \cdot (365,25 \cdot 24 \cdot 3600) \cdot c$

Utilizando o valor de x encontrado no item a):

$t = \dfrac{\ln{\left(\dfrac{d\cdot x}{c} + 1\right)}}{x} \rightarrow{} \dfrac{\ln{\left(\dfrac{(21 \cdot 10^{9}) \cdot (365,25 \cdot 24 \cdot 3600) \cdot c \cdot 2,3\cdot10^{-18}}{c} + 1\right)}}{2,3\cdot10^{-18}}$

$t=4,03\cdot10^{17} \ s \rightarrow \boxed{12,76\cdot 10^{9} \ anos}$

c)Neste item o primeiro passo a se seguir é calcular o maior "raio" possível no universo:

$d=\dfrac{c(e^{xt}-1)}{x}$

Utilizando o $H_0$ encontrado $x \approx 2,3 \cdot 10^{-18}$ e $t \approx 13,8 \cdot 10^9 \ anos$, chegamos em:

$d \approx 2.25 \cdot 10^{26} metros.$

Tendo tal raio podemos calcular o "volume total" deste universo simplificado ($\approx$ esférico):

$V_e=\dfrac{4}{3}\pi r^3$

Realizando as substituições encontramos que $V_e \approx 4,74 \cdot 10^{79} \ m^3$

Tendo esse valor basta utilizar a equação da densidade crítica de Friedmann e calcular a massa com base no volume encontrado:

$\rho_c = \dfrac{3H_0^2}{8\pi G}$

$\therefore \rho_c \approx 9.5 \cdot 10^{-27} \cdot \dfrac{Kg}{m^3}$

Como $V\cdot \rho_c = M \rightarrow M \approx 4,5 \cdot 10^{53}$ Kg

(Note que o valor é diferente do real já que $H_0$ foi considerado constante, causando um erro na medida do volume total.)