Soluções Astronomia – Semana 91

Iniciante

Colapso Solar

Conforme o Sol se contrai, ele perde energia potencial gravitacional que, por conservação de energia, aumenta a energia cinética das partículas do interior do Sol.

O teorema do virial aplicado para a gravidade é:

$$E_c = - \frac{1}{2} \frac{GMm}{r^2} r = - \frac{1}{2} \frac{GMm}{r} = - \frac{1}{2} E_p$$

onde $E_p$ é a energial potencial.

Quando o Sol se contrair, metade da energia será convertida em energia cinética e a outra metade será liberada como radiação. Assim, o tempo que irradiará será:

$$t = \frac{\frac{1}{2}E_p}{L_{\odot}} = \frac{GM_{\odot}^2}{2R_{\odot} L_{\odot}}$$

Substituindo os valores, encontramos:

$$\boxed{t = 1,57 \cdot 10^6 anos}$$

Intermediário

Satélite de Vivi

a) Esquematizando a projeção do plano da órbita na Terra:

percebe-se que a anomalia verdadeira é $\theta = 90 + x$

Pela fórmula das quatro partes:

$$\cos{i} \cdot \cos{\Delta \lambda} = \sin{\Delta \lambda} \cdot \cot{x} - \sin{i} \cdot\cot{90}$$

$$\cos{i} \cdot\cos{\Delta \lambda} = \sin{\Delta \lambda} \cdot\cot{x} \Rightarrow \tan{x} = \frac{ \tan{\Delta \lambda}}{ \ cos{i}}$$

Substituindo os valores, encontramos $x = 47,22^{\circ}$, portanto

$$\theta = 90 + 47,22 = \boxed{137,22^{\circ}}$$

b) Utilizando conservação do momento angular, podemos calcular o ângulo entre o vetor posição e o vetor velocidade:

$$\vec{L} = m \vec{v} \vec{r}$$

$$v_0 r_0 \sin{ {\alpha}_0} = v_p \cdot r_p$$

$$\sqrt{GM \left( \frac{2}{H + R_{\oplus}} - \frac{1}{a} \right)} (H + R_{\oplus}) \sin{{\alpha}_0} = \sqrt{\frac{GM(1+e)}{a(1-e)}} a(1-e) = \sqrt{a(1-e^2)}$$

$$\sin{{\alpha}_0} = \sqrt{\frac{a(1-e^2)}{ \left( \frac{2}{H + R_{\oplus}} - \frac{1}{a} \right)}} \frac{1}{H+R_{\oplus}}$$

Para encontrar a exentricidade:

$$r= H+R_{\oplus} = \frac{a(1-e^2)}{1+e \cos{\theta}}$$

$$H+R_{\oplus} + e(H+R_{\oplus}) \cos{\theta} - a + ae^2 = 0$$

Resolvendo a equação de 2º grau, encontramos $e = 0,700$ ou $0,069$, mas $e<0,1$, logo $e=0,069$.

Substituindo os valores, temos ${\alpha}_0 = 87,16^{\circ}$.

Como Vivi jogou a pedra para cima, o impulso é radial, assim a nova velocidade é:

$${v_f}^2 = {v_{t,0}}^2 + (v_{r,0} + \Delta v)^2 = {v_0}^2 {\sin{\alpha_0}}^2 + (v_0 \cos{{\alpha}_0} + \Delta v)^2$$

Como a velocidade tangencial não muda:

$$v_f \sin{{\alpha}_f} = v_0 \sin{{\alpha}_0}$$

$$\sqrt{ {\sin{{\alpha}_0}}^2 + \left( \cos{{\alpha}_0} + \frac{\Delta v}{v_0} \right)^2} \sin{{\alpha}_f} = \sin{{\alpha}_0}$$

$$\Rightarrow {\alpha}_f = 85,65^{\circ}$$

Logo, a variação foi

$$\Delta \alpha = |{\alpha}_f - {\alpha}_0|$$

$$\boxed{\Delta \alpha = 1,5^{\circ}}$$

 

Avançado

Uma Fer muito veloz

Devido a velocidade, a estrela sofre contração de comprimento no sentido do movimento:

$$r' = \frac{r}{\gamma} = r \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}$$

$$\frac{r'}{r} = 0,714$$

onde $r$ é o raio próprio da estrela.

O volume do elipsóide é

$$V' = \frac{4}{3} \pi r^2 r' = \frac{4}{3} \pi r^2 \cdot 0,714 r$$

Portanto, a razão entre as densidades aparente e real é:

$$\frac{p'}{p} = \frac{\frac{M}{V'}}{\frac{M}{V}} = \frac{V}{V'}$$

$$\frac{p'}{p} = \frac{\frac{4}{3} \pi r^3}{\frac{4}{3} \pi \cdot 0,714 r^3} = \frac{1}{0,714} = \boxed{1,4}$$

 

b) Sendo $C$ o tamanho da nave, $C'$ o tamanho medido e $u$ a velocidade da outra nave:

$$\frac{C'}{C} = \frac{1}{4} = \frac{1}{\gamma} = \sqrt{1- \frac{u^2}{c^2}}$$

$$u = 0,968c$$

Sendo $u'$ a velocidade da nave no referencial estacionário, por adição de velocidades:

$$u = \frac{u' + v}{1+ \frac{u'v}{c^2}}$$

$$u' =\frac{u-v}{1-\frac{uv}{c^2}} = \boxed{0,83c}$$