Iniciante
Colapso Solar
Conforme o Sol se contrai, ele perde energia potencial gravitacional que, por conservação de energia, aumenta a energia cinética das partículas do interior do Sol.
O teorema do virial aplicado para a gravidade é:
\[E_c = – \frac{1}{2} \frac{GMm}{r^2} r = – \frac{1}{2} \frac{GMm}{r} = – \frac{1}{2} E_p\]
onde $$E_p$$ é a energial potencial.
Quando o Sol se contrair, metade da energia será convertida em energia cinética e a outra metade será liberada como radiação. Assim, o tempo que irradiará será:
\[t = \frac{\frac{1}{2}E_p}{L_{\odot}} = \frac{GM_{\odot}^2}{2R_{\odot} L_{\odot}}\]
Substituindo os valores, encontramos:
\[\boxed{t = 1,57 \cdot 10^6 anos}\]
Intermediário
Satélite de Vivi
a) Esquematizando a projeção do plano da órbita na Terra:
percebe-se que a anomalia verdadeira é $$ \theta = 90 + x$$
Pela fórmula das quatro partes:
\[\cos{i} \cdot \cos{\Delta \lambda} = \sin{\Delta \lambda} \cdot \cot{x} – \sin{i} \cdot\cot{90}\]
\[ \cos{i} \cdot\cos{\Delta \lambda} = \sin{\Delta \lambda} \cdot\cot{x} \Rightarrow \tan{x} = \frac{ \tan{\Delta \lambda}}{ \ cos{i}}\]
Substituindo os valores, encontramos $$x = 47,22^{\circ}$$, portanto
\[ \theta = 90 + 47,22 = \boxed{137,22^{\circ}}\]
b) Utilizando conservação do momento angular, podemos calcular o ângulo entre o vetor posição e o vetor velocidade:
\[ \vec{L} = m \vec{v} \vec{r}\]
\[v_0 r_0 \sin{ {\alpha}_0} = v_p \cdot r_p\]
\[ \sqrt{GM \left( \frac{2}{H + R_{\oplus}} – \frac{1}{a} \right)} (H + R_{\oplus}) \sin{{\alpha}_0} = \sqrt{\frac{GM(1+e)}{a(1-e)}} a(1-e) = \sqrt{a(1-e^2)}\]
\[ \sin{{\alpha}_0} = \sqrt{\frac{a(1-e^2)}{ \left( \frac{2}{H + R_{\oplus}} – \frac{1}{a} \right)}} \frac{1}{H+R_{\oplus}} \]
Para encontrar a exentricidade:
\[r= H+R_{\oplus} = \frac{a(1-e^2)}{1+e \cos{\theta}}\]
\[H+R_{\oplus} + e(H+R_{\oplus}) \cos{\theta} – a + ae^2 = 0\]
Resolvendo a equação de 2º grau, encontramos $$e = 0,700$$ ou $$0,069$$, mas $$e<0,1$$, logo $$e=0,069$$.
Substituindo os valores, temos $$ {\alpha}_0 = 87,16^{\circ}$$.
Como Vivi jogou a pedra para cima, o impulso é radial, assim a nova velocidade é:
\[{v_f}^2 = {v_{t,0}}^2 + (v_{r,0} + \Delta v)^2 = {v_0}^2 {\sin{\alpha_0}}^2 + (v_0 \cos{{\alpha}_0} + \Delta v)^2\]
Como a velocidade tangencial não muda:
\[v_f \sin{{\alpha}_f} = v_0 \sin{{\alpha}_0}\]
\[ \sqrt{ {\sin{{\alpha}_0}}^2 + \left( \cos{{\alpha}_0} + \frac{\Delta v}{v_0} \right)^2} \sin{{\alpha}_f} = \sin{{\alpha}_0}\]
\[\Rightarrow {\alpha}_f = 85,65^{\circ}\]
Logo, a variação foi
\[ \Delta \alpha = |{\alpha}_f – {\alpha}_0| \]
\[\boxed{\Delta \alpha = 1,5^{\circ}}\]
Avançado
Uma Fer muito veloz
Devido a velocidade, a estrela sofre contração de comprimento no sentido do movimento:
\[r’ = \frac{r}{\gamma} = r \sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}} \]
\[ \frac{r’}{r} = 0,714\]
onde $$r$$ é o raio próprio da estrela.
O volume do elipsóide é
\[ V’ = \frac{4}{3} \pi r^2 r’ = \frac{4}{3} \pi r^2 \cdot 0,714 r\]
Portanto, a razão entre as densidades aparente e real é:
\[ \frac{p’}{p} = \frac{\frac{M}{V’}}{\frac{M}{V}} = \frac{V}{V’} \]
\[ \frac{p’}{p} = \frac{\frac{4}{3} \pi r^3}{\frac{4}{3} \pi \cdot 0,714 r^3} = \frac{1}{0,714} = \boxed{1,4} \]
b) Sendo $$C$$ o tamanho da nave, $$C’$$ o tamanho medido e $$u$$ a velocidade da outra nave:
\[ \frac{C’}{C} = \frac{1}{4} = \frac{1}{\gamma} = \sqrt{1- \frac{u^2}{c^2}}\]
\[u = 0,968c\]
Sendo $$u’$$ a velocidade da nave no referencial estacionário, por adição de velocidades:
\[u = \frac{u’ + v}{1+ \frac{u’v}{c^2}} \]
\[ u’ =\frac{u-v}{1-\frac{uv}{c^2}} = \boxed{0,83c} \]