Soluções Astronomia – Semana 92

Escrito por Hugo Menhem

Iniciante

Paralaxe em apontamentos

É possível desenhar o seguinte esquema, transformando as coordenas esféricas em coordenas cartesianas:

Para tal, foi utilizado as seguintes formulas para transformar coordenadas:

$z = R \sin h$

$y = R \cos h \cos A$

$x = R \cos h \sin A$

Assim, para M.P.,

$D \sin h = D ' \sin h' \Rightarrow D' = D \frac{\sin h}{\sin h'}$

$R \cos \theta + D \cos h \cos A = D' \cos h' \cos A'$

$R \sin \theta + D \cos h \sin A = D' \cos h' \sin A'$

Substituindo a primeira equação nas duas ultimas,

$R \cos \theta + D \cos h \cos A = D \sin h \cot h' \cos A'$

$R \sin \theta + D \cos h \sin A = D \sin h\cot h' \sin A'$

dividindo uma pela outra,

$\tan A' = \frac{R \sin \theta + D \cos h \sin A}{R \cos \theta + D \cos h \cos A}$

Pela primeira equação,

$\sin h' = \frac{D}{D'}\sin h$

Calculando a distância vista por M.P.

$D'^2 = (D \sin h)^2 + (D \cos h \sin A - R \sin\theta)^2 + (D \cos h \cos A - R \cos\theta)^2$

$D'^2 = D^2 - 2DR \cos h (\sin A \cos\theta + \cos A \sin\theta )+ R^2$

$D' = \sqrt{D^2 - 2DR \cos h \sin (A+\theta)+ R^2}$

assim,

$\sin h' = \frac{D\sin h }{\sqrt{D^2 - 2DR \cos h \cos (A-\theta)+ R^2}}$

Em conclusão, M.P. verá laser apontado para:

$\boxed{h' =\arcsin \left[ \frac{D\sin h }{\sqrt{D^2 - 2DR \cos h \cos (A-\theta)+ R^2}} \right]}$

$\boxed{A' =\arctan \left[ \frac{R \sin \theta + D \cos h \sin A}{R \cos \theta + D \cos h \cos A} \right]}$

Além disso, é possível provar que, em coordenadas esféricas centradas em M.T., os pontos referentes à M.P., $(A,h)$ e $(A',h')$ formam um circulo máximo.

Intermediário

Lente de foco variável

a) utiliza-se a equação de Gauss para determinar os a posição de formação das imagens. Com a aproximação de que o objeto a ser observado está no infinito, a primeira imagem é formada em:

$\frac{1}{F_1} = \frac{1}{P}+\frac{1}{P_1} \Rightarrow P_1 = F_1$

depois, esta imagem é “observada” pela segunda lente e forma-se uma segunda imagem

$\frac{1}{F_2} = \frac{-1}{P_1-d}+\frac{1}{P_2-d} \Rightarrow P_2 - d = \frac{F_1F_2-F_2d}{F_1+F_2-d}$

pela definição de foco equivalente,

$\frac{1}{F_{eq}} = \frac{1}{P}+\frac{1}{P_2} \Rightarrow P_2 = F_{eq}$

assim,

$\boxed{F_{eq} = \frac{F_1F_2-F_2d}{F_1+F_2-d} + d = \frac{F_1F_2 + F_1d - d^2}{F_1+F_2-d}}$

b) É possível desenhar o seguinte esquema de raios:

Focando neste primeiro triângulo,

percebe-se que

$F_1 \tan \theta_1 = (F_1-d)\tan \theta_2 \Rightarrow \tan \theta_2 = \frac{F_1}{F_1-d} \tan \theta_1$

Para achar a escala da placa, em $rad/m$ , utilizando a figura mais ampla, divide-se:

$\frac{\theta_1}{L} = \frac{\theta_1}{(F_{eq}-d)\tan \theta_2} = \frac{\theta_1(F_1-d)}{(F_{eq}-d)F_1\tan \theta_1}$

substituindo $F_{eq}$ aproximando $\tan \theta_1 \approx \theta_1$

$\boxed{p = \frac{\theta_1}{L} = \frac{(F_1-d)(F_1+F_2-d)}{(F_1F_2-F_2d) F_1} = \frac{F_1+F_2-d}{F_1 F_2}}$

É interessante notar que a razão não é igual à $F_{eq}^{-1}$ , e isso também não é verdadeiro caso seja definido o a distancia focal equivalente a partir da segunda lente:

$F_{eq}' = F_{eq} - d = \frac{F_1F_2-F_2d}{F_1+F_2-d} \Rightarrow F_{eq}'^{-1} = \frac{F_1+F_2-d}{F_1F_2-F_2d} \ne \frac{F_1+F_2-d}{F_1 F_2}$

Dessa forma, percebe-se que este conjunto óptico necessita de um tubo de telescópico/lente de câmera menor para a mesma escala de placa, o que facilita na portabilidade do instrumento. além disso, este mecanismo é bastante útil, principalmente em uma câmera, pois proporciona um campo de visão que varia linearmente com a distância entre as duas lentes primárias

c) Para observar com o olho a imagem formada pelo telescópio, é necessária uma ocular com distância focal $F_{oc}$ a uma distância $F_{oc}$ após o plano focal equivalente do conjunto de lentes primárias. Dessa forma,

$F_{oc} \tan \theta_{oc} = L =\frac{\theta_1}{p}$

fazendo a aproximação de pequenos ângulos,

$\boxed{A = \frac{\theta_{oc}}{\theta_1} = \frac{1}{p F_{oc}} = \frac{F_1 F_2}{F_{oc}(F_1+F_2-d)}}$

d) pode ser desenhado um novo esquema de raios,

Por semelhança de triângulos,

$\frac{D}{F_1} = \frac{D'}{F_1-d}$

$\frac{D'}{F_{eq}-d} = \frac{L}{F_{ob}}$

$\frac{L}{F_{ob}} = \frac{D(F_1-d)}{F_1(F_{eq}-d)}$

$\frac{L}{F_{ob}} = \frac{D(F_1-d)(F_1+F_2-d)}{F_1(F_1F_2-F_2d)} = \frac{D(F_1+F_2-d)}{F_1F_2}$

$\boxed{L = D\frac{F_{ob}(F_1+F_2-d)}{F_1F_2} = \frac{D}{A}}$

É interessante notar que, mesmo com um conjunto óptico distinto, a saída de pupila ainda é $D/A$ .

Avançado

Determinação de órbita

a) A solução se baseia na equação polar da elipse, que relaciona $\theta$ com $r$ :

$r = a \frac{1-e^2}{1+e\cos \theta}$

para isso, precisamos de $\theta$ , que é a anomalia verdadeira do satélite. Esta é medida no plano da órbita, portanto devemos utilizar o seguinte triângulo esférico:

Pela lei dos Cossenos,

$\cos \theta = \cos\alpha \cos \delta + \sin\alpha \cos\delta\cos(90)$

$\cos \theta = \cos\alpha \cos \delta$

substituindo na equação polar,

$r = a \frac{1-e^2}{1+e\cos\alpha \cos \delta }$

para linearizar a equação, eleva-se os dois lados por $-1$ :

$r^{-1} = \frac{1}{a(1-e^2)} + \frac{e}{a(1-e^2)}\cos\alpha \cos \delta$

Dessa forma, ao plotar o gráfico $r^{-1} \times (\cos\alpha \cos \delta)$ , é possível achar o coeficiente linear e o angular, e chega-se no seguinte conjunto de equações: