Iniciante
A função é definida em $$x=0$$, já que $$f(0)=2$$. O limite lateral à esquerda é
$$!\lim \limits_{x \rightarrow 0^-} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^-} \frac{x-6}{x-3}=\frac{-6}{-3}=2$$
E o limite lateral à direita é
$$!\lim \limits_{x \rightarrow 0^+} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^+} \sqrt{4+x^2}=\sqrt{4}=2$$
Analogamente, o limite seguinte existe e é igual a
$$!\lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x)=2=f(0)$$
Assim, todas as condições são satisfeitas e a função é contínua em $$x=0$$.
Intermediário
Pode não ser óbvio, mas este problema pode ser visto como um problema de diferenciação. Lembre-se que
$$!f'(x)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Se $$f(x)=sin(x)$, ent\~ao $f'(x)=cos(x)$$, e, colocando $$x$$ como $$\frac{\pi}{3}$$, segue que
$$!\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{sin(\frac{\pi}{3}+h)-sin(\frac{\pi}{3})}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(\frac{\pi}{3}+h)-f(\frac{\pi}{3})}{h}$$
$$!=f'(\frac{\pi}{3})=cos(\frac{\pi}{3})$$ $$=\frac{1}{2}$$
Avançado
Sendo $$x$$ o valor de um lado da base da caixa e $$y$$ sua altura, a área total da superfície da caixa é $$48 m^2=$$ (área da base) $$+$$ $$4$$(área de um lado)
$$!=x^2+4(xy) 4xy=48-x^2$$
$$!y=\frac{48-x^2}{4x}=\frac{48}{4x}-\frac{x^2}{4x}=\frac{12}{x}-\frac{x}{4}$$.
Agora, precisamos maximizar o volume da caixa: $$V=(comprimento)(largura)(altura)=x^2y$$
$$!V(x)=x^2(\frac{12}{x}-\frac{x}{4})=12x-\frac{x^3}{4}$$
Diferenciando a equação, tem-se que
$$!V’=0=12-\frac{3x^2}{4}=\frac{3}{4}(16-x^2)=\frac{3}{4}(4+x)(4-x)$$
Logo, $$x=4$$ ou $$x=-4$$. Já que neste problema $$x>0$$ e que a base da caixa é quadrada e há $$48m^2$$ de material a ser utilizado, segue que $$0<x\leq \sqrt{48}$$. Veja o gráfico de sinal para $$V’$$:
Assim, o volume máximo será dado quando $$x=4m$$ e $$y=2m$$, implicando em um volume de $$32m^3$$.
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