Soluções Cálculo – Semana 14

Iniciante

Como a função dada ($$f(x)=2^x$$) satisfaz as condiçõeses: $$f(x)=a^x$$, com $$a>0, a\neq 1$$ e x pertencentes aos reais, pode-se aplicar a relação: $$f'(x)=a^xln(a)$$. Assim, $$f'(x)=2^xln(2)$$ $$f'(3)=2^3ln(2)\cong 5,54$$

Intermediário

Seja $$u=\ln x$$ e $$dv = \displaystyle{ 1 \over x^5 } \ dx = x^{-5} \ dx$$
Assim, $$du=\frac{1}{x}dx$$ e $$v=\frac{x^{-4}}{-4}=\frac{-1}{4x^4}$$
Portanto, $$\displaystyle \int \frac{ln(x)}{x^5}dx=ln(x)\frac{-1}{4x^4}-\displaystyle \int \frac{-1}{4x^4}\cdot \frac{1}{x}dx$$
$$ =\displaystyle{-{\ln{x} \over 4x^4}+(1/4)\int { 1 \over x^5 } \, dx}$$
$$ = \displaystyle{-{\ln{x} \over 4x^4}+(1/4)\int { x^{-5} } \, dx}$$
$$ = \displaystyle{-{\ln{x} \over 4x^4}+(1/4){ x^{-4} \over -4 }+C} $$
$$ = \displaystyle{-{\ln{x} \over 4x^4}-{1 \over 16x^4}+C}$$ $$=\frac{-4ln(x)+1}{16x^4}$$

Avançado

a) $$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} e^x\frac{e^h-1}{h}$$ Como, pela regra de L’Hospital, $$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{h}-1}{h}=1$$ então $$\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x$$

b) $$tg'(x)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{tg(x+h)-tg(x)}{h}$$ Fazendo $$t=x+h$$, quando h tende a 0, t tende a x:
$$tg'(x)=\displaystyle \lim_{t \rightarrow x} \frac{tg(t)-tg(x)}{t-x}=\displaystyle \lim_{t \rightarrow x} \frac{\frac{sen (t)}{cos (t)}-\frac{sen(x)}{cos(x)}}{t-x}$$
$$=\displaystyle \lim_{t \rightarrow x} \frac{sen(t)cos(x)-sen(x)cos(t)}{t-x}\cdot \frac{1}{cos(x)cos(t)}$$
Como $$\displaystyle \lim_{t \rightarrow x} \frac{sen(t)cos(x)-sen(x)cos(t)}{t-x}=\displaystyle \lim_{t \rightarrow x} \frac{sen(t-x)}{t-x}=1$$ e $$\displaystyle \lim_{t \rightarrow x} \frac{1}{cos(t)cos(x)}=\frac{1}{cos^2(x)}=sec^2(x)$$ resulta que $$tg'(x)=sec^2(x)$$

c) $$f(x)=x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x}$$ Temos que $$f'(x)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{x+h}-\sqrt[n]{x}}{h}=\displaystyle \lim_{t \rightarrow x} \frac{\sqrt[n]{t}-\sqrt[n]{x}}{t-x}$$ Fazendo $$u=\sqrt[n]{t}$$ e $$v=\sqrt[n]{x}$$ (quando $$t \rightarrow x$$, $$u \rightarrow v$$) resulta que $$f'(x)=\displaystyle \lim_{u \rightarrow v} \frac{u-v}{u^n-v^n}=\displaystyle \lim_{u \rightarrow v} \frac{1}{\frac{u^n-v^n}{u-v}}=\frac{1}{nv^{n-1}}$$ Assim, para $$x\neq 0$$ e x no domínio de f, $$f'(x)=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}$$