Soluções Cálculo – Semana 18

Iniciante

Sabe-se que $f'(x)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ Assim, $f'(x)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{{5(x+h)^2-3(x+h)+7}-5x^2+3x-7}{h}$ Simplificando a expressão: $=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{5x^2+10xh+5h^2-3x-3h-5x^2+7+3x-7}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{10xh+5h^2-3h}{h}$ Colocando h em evidência: $=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h(10x+5h-3)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} 10x+5h-3=10x-3$

Intermediário

Como foi dada a derivada de f, basta integrá-la para achar f (a área sob o gráfico). E, como foi dado também que $f(0)=5$, tem-se que $f(-4)=5+\displaystyle \int_{0}^{-4} g(x)dx=5-(8-2\pi)=2\pi-3$. E $f(4)=5+\displaystyle \int_{0}^{4} (5e^{-x/3}-3) dx$.

$=8-15e^{-4/3}$

Avançado

$\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{x^3+7x}{4x^3+5}}=\sqrt{\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^3+7x}{4x^3+5}}$ (Essa simplificação é válida devido à continuidade da função em questão). O truque aqui é dividir cada termo por $x^3$, o maior grau de x na função:
$=\sqrt{\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{x^3}{x^3}+\frac{7x}{x^3}}{\frac{4x^3}{x^3}+\frac{5}{x^3}}}$
$=\sqrt{\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{7}{x^2}}{4+\frac{5}{x^3}}}$
Note que ambas as expressões $\frac{7}{x^2}$ e $\frac{5}{x^3}$ tendem a 0 quando x tende a $\infty$ $=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$