Iniciante
Sabe-se que $$f'(x)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ Assim, $$f'(x)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{{5(x+h)^2-3(x+h)+7}-5x^2+3x-7}{h}$$ Simplificando a expressão: $$=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{5x^2+10xh+5h^2-3x-3h-5x^2+7+3x-7}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{10xh+5h^2-3h}{h}$$ Colocando h em evidência: $$ =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h(10x+5h-3)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} 10x+5h-3=10x-3$$
Intermediário
Como foi dada a derivada de f, basta integrá-la para achar f (a área sob o gráfico). E, como foi dado também que $$f(0)=5$$, tem-se que $$f(-4)=5+\displaystyle \int_{0}^{-4} g(x)dx=5-(8-2\pi)=2\pi-3$$. E $$f(4)=5+\displaystyle \int_{0}^{4} (5e^{-x/3}-3) dx$$.
$$=8-15e^{-4/3}$$
Avançado
$$\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{x^3+7x}{4x^3+5}}=\sqrt{\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^3+7x}{4x^3+5}}$$ (Essa simplificação é válida devido à continuidade da função em questão). O truque aqui é dividir cada termo por $$x^3$$, o maior grau de x na função:
$$=\sqrt{\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{x^3}{x^3}+\frac{7x}{x^3}}{\frac{4x^3}{x^3}+\frac{5}{x^3}}}$$
$$=\sqrt{\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{7}{x^2}}{4+\frac{5}{x^3}}}$$
Note que ambas as expressões $$\frac{7}{x^2}$$ e $$\frac{5}{x^3}$$ tendem a 0 quando x tende a $$\infty$$ $$=\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$$
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