Iniciante (Solução por Arthur Klemenchuk Sueiro e Vinícius Alves Faria)
Pela interpretação geométrica da derivada, sabemos que essa dará a inclinação do gráfico, ou melhor, da reta tangente a ele em determinado ponto. A partir disso, para a função ser adequada à construção, devemos ter:
$$!|f'(3)| \leq 30 \ \ \ \ \ (1)$$
Como a função em questão é um polinômio, as regras de diferenciação nos dão:
$$!f'(3) = -12x – \frac{3}{5}x^2 + 2x^3$$
Com obtemos:
$$!f'(3) = -12 \cdot 3 – \frac{3}{5} \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^3 \Rightarrow |f'(3)| = 12,6 < 30$$
Logo a condição $$(1)$$ é satisfeita e, portanto, a função servirá para o propósito dos engenheiros.
Intermediário (Solução por Arthur Klemenchuk Sueiro e Vinícius Alves Faria)
Note que calculando $$f(1)$$ obtemos uma indeterminação:
$$!f(1) = \frac{\sqrt{1} – 1}{1-1} = \frac{0}{0}$$
No entanto, ao observarmos o gráfico da função, vemos que, quando $$x \rightarrow 1$$, ou seja, a variável se aproxima de $$1$$, $$f(x)$$ se aproxima de $$0,5$$. Tal fato nos sugere, pela definição intuitiva de limite, que o limite pedido é $$0,5$$. Para demonstrar isso, utilizaremos a regra de L`hopital, a qual pode ser usada devido à indeterminação que obtivemos:
$$!\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x} -1}{x-1} = \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{1}{2}$$
$$! \ $$
Avançado (Solução por Arthur Klemenchuk Sueiro)
Da geometria espacial, sabemos que o volume da embalagem cilíndrica será dado por:
$$!V = \pi r^2 h = 1 \Rightarrow h = \frac{1}{\pi r^2} \ \ \ \ \ \ (1)$$
Sendo $$A$$ sua área superficial:
$$!A = 2 \pi r (r+ h) \ \ \ \ \ \ (2)$$
Substituindo $$(1)$$ em $$(2)$$, obtemos:
$$!A = 2 \pi r (r + \frac{1}{\pi r^2}) = 2 \pi r^2 + \frac{2}{r}$$
Como desejamos que a área superficial da embalagem seja mínima, devemos ter:
$$!\frac{dA}{dr} = 0$$
Pela “regra do tombo”:
$$!\frac{dA}{dr} = 4 \pi r – \frac{2}{r^2} = 0 \Rightarrow 2 \pi r^3 – 1 = 0$$
Por ser uma medida de comprimento, $$r \in R_{+}$$. A única solução da equação que obedece tal condição é:
$$!r = \frac{1}{\sqrt[3]{2 \pi}}$$
De fato, esse valor minimiza $$A$$, já que:
$$!\frac{d^2A}{dr^2} = 4\pi + \frac{4}{r^3}$$
Assume um valor positivo com esse valor de $$r$$. A única solução da equação que. Substituindo na equação $$(1)$$:
$$!h = \frac{\sqrt[3]{4 \pi ^2}}{\pi} = \sqrt[3]{\frac{4}{\pi}}$$
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