Iniciante
Aqui, tem-se $$F(x)=\frac{x^3}{3}+4x$$, que é uma primitiva de $$f(x)=x^2+4$$, pois $$F'(x)=3\cdot \frac{x^{3-1}}{3}+4\cdot 1=f(x)$$ Logo, pelo TFC (Teorema Fundamental do Cálculo), vem $$\displaystyle \int_{1}^{3} (x^2+4)dx=\Big (\frac{x^3}{3}+4x \Big ) \Big \vert_{1}^{3}=F(3)-F(1)=\frac{3^3}{3}+4(3)-\Big(\frac{1^3}{3}+4(1) \Big )=\frac{50}{3}$$
Intermediário
Por uma propriedade logarítmica, tem-se: $$\displaystyle \int log(2^{\sqrt{x}}\cdot 3^{x^2})dx=\displaystyle \int (\sqrt{x} log 2+ x^2 log 3)dx=log 2 \displaystyle \int x^{1/2}dx + log 3\displaystyle \int x^2 dx=\frac{2 log 2}{3}x \sqrt{x}+\frac{log 3}{3}x^3$$
Avançado
Como $$arcsin 0=0$$ e $$arctan 0=0$$, ambas funções contínuas, quando x tende a zero o limite tende a “$$\frac{0}{0}$$”, ou seja, pode-se usar a regra de L’Hospital! Logo $$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{arcsin 3x}{arctan 5x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1-(3x)^2}d(3x)}{\frac{1}{1+(5x)^2}d(5x)}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{3}{1-9x^2}}{\frac{5}{1+25x^2}}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{3}{5}\frac{1+25x^2}{\sqrt{1-9x^2}}$$ $$=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{3}{5}\frac{1+0}{\sqrt{1-0}}=3/5$$
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