Soluções Cálculo – Semana 24

Iniciante

A) Utilizando-se a definição formal de limite, comece considerando que $$\varepsilon>0$$ existe. Ache um $$\delta>0$$ tal que se $$0<\vert x-5 \vert < \delta$$, então $$\vert f(x)-7 \vert< \varepsilon$$. Assim, $$\vert 7-7 \vert < \varepsilon$$ e $$\vert 0 \vert < \varepsilon$$. Mas esta trivial desigualde é sempre verdade, não importando o valor escolhido para $$\delta$$. Por exemplo, $$\delta=\frac{1}{2}$$ irá funcionar. Assim, se $$0<\vert x-5 \vert < \delta$$, então segue que $$\vert f(x)-7 \vert< \varepsilon$$. Isto completa a prova.

B) Primeiro, note que $$ -1 \le \sin x \le +1 $$ (devido às propriedades da função seno). Assim,
$$ \displaystyle{ { -1 \over x } \le { \sin x \over x } \le { 1 \over x } } $$
Já que $$ \displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \ { -1 \over x } = 0 = \lim_{ x \to \infty } \ { 1 \over x } } $$ Segue que, pelo “Teorema do Sandu\’iche”: $$ \displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \ { \sin x \over x } = 0 } $$

Intermediário

Comece com $$y = x^2 y^3 + x^3 y^2$$. Derive os dois lados da equação pela regra do produto, tendo-se:
$$D(y) = D ( x^2 y^3 + x^3 y^2 )$$
$$D(y) = D ( x^2 y^3 ) + D ( x^3 y^2 )$$
$$ y’ = \{ x^2 D ( y^3 ) + D ( x^2 ) y^3 \} + \{ x^3 D ( y^2 ) + D ( x^3 ) y^2 \}$$
$$ y’ = \{ x^2 ( 3y^2 y’ ) + ( 2x ) y^3 \} + \{ x^3 ( 2 y y’ ) + ( 3x^2 ) y^2 \} $$
$$y’ = 3x^2 y^2 y’ + 2x y^3 + 2x^3 y y’ + 3x^2 y^2$$
Agora resolva para y’ :
$$y’ – 3x^2 y^2 y’ – 2x^3 y y’ = 2x y^3 + 3x^2 y^2$$
Isole y’ :
$$y’ [ 1 – 3x^2 y^2 – 2x^3 y ] = 2x y^3 + 3x^2 y^2$$
e $$ y’ = \displaystyle{ 2x y^3 + 3x^2 y^2 \over 1 – 3x^2 y^2 – 2x^3 y } $$

Avançado

Primeiro, simplifique as funções exponenciais dentro da integral. O resultado é
$$ \displaystyle{ \int e^{5x}
\Big( { e^{2x} \over 7 } + { 3 \over e^{3x} } \Big)dx= \displaystyle \int \Big( { e^{5x} e^{2x} \over 7 } + { 3 e^{5x} \over e^{3x} } \Big) \,dx } $$
(Lembre-se de que $$ \displaystyle{ R^M R^N = R^{M+N}} $$ e $$ \displaystyle{ { R^M \over R^N } = R^{M-N}} $$)
$$ = \displaystyle{ \int \Big( { e^{5x+2x} \over 7 } + 3 e^{5x-3x} \Big) \,dx } $$
$$ = \displaystyle{ \int \Big( { e^{7x} \over 7 } + 3 e^{2x} \Big) \,dx } $$
$$ = \displaystyle{ (1/7) \int e^{7x} \,dx } + \displaystyle{ 3 \int e^{2x} \,dx }$$
$$ = \displaystyle{ (1/7) { e^{7x} \over 7 } } + \displaystyle{ 3 { e^{2x} \over 2 } } + C $$
$$ = \displaystyle{ (1/49) e^{7x} } + \displaystyle{ (3/2) e^{2x} } + C $$