Iniciante
Sendo $$f(x)=x^5+59x^4+2x$$ uma função polinomial derivável e “bem comportada”, sua integral será: $$\displaystyle \int (x^5+59x^4+2x) dx=\frac{x^6}{6}+59\frac{x^5}{5}+2\frac{x^2}{2}$$
Intermediário
Pela Regra da Cadeia, $$f'(x)=5cos(5x)$$ Isto é, de um jeito bem simples, a derivada de $$sen(5x)$$ é $$cos(5x)$$ vezes a derivada de $$(5x)$$.
Avançado
Solução adaptada de Humberto Borges
Por Integração por Partes, seja $$u=ln(x)$$. Tem-se: $$du=\frac{1}{x}dx$$. Define-se também $$dv=xdx$$. Logo,
$$ \displaystyle \int dv= \displaystyle \int x dx \rightarrow v=\frac{x^2}{2}+C $$
Substituindo os termos na expressão de Integra\c{cão por Partes $$\displaystyle \int udv= uv – \displaystyle \int v du$$ $$=\frac{x^2}{2}ln(x)-\displaystyle \int \frac{x^2}{2}\frac{dx}{x}=\frac{x^2}{2}ln(x)-\frac{x^2}{4}+C$$
Deixe um comentário