Soluções Cálculo – Semana 28

Iniciante

$\lim \limits_{x \rightarrow 3} \frac{5x^2-8x-13}{x^2-5}=\frac{5(3)^2-8(3)-13}{(3)^2-5}=\frac{8}{4}=2$

Intermediário

Por Integração por Substituição, seja $u = \ln x$ tal que $du=\displaystyle{1 \over x}dx$.
Substitua no problema original:
$\displaystyle{ \int { 3 \over x \ln x } \,dx }=3 \displaystyle{ \int { 1 \over \ln x } \, { 1 \over x } dx}$
$= 3 \displaystyle{ \int { 1 \over u } \, du }$
$= 3 \displaystyle{ \ln \vert u \vert + C }$
$= 3 \displaystyle{ \ln \vert \ln x \vert + C }$

Avançado

Primeiro, reescreva a função utilizando a identidade trigonométrica $cos^2x=1-sin^2x$, simplifique-a e depois resolva-a.
$\displaystyle{ \int { \cos^2 x \over 1 + \sin x } \,dx } = \displaystyle{ \int { 1 - \sin^2 x \over 1 + \sin x } \,dx }$
$= \displaystyle{ \int { 1^2 - \sin^2 x \over 1 + \sin x } \,dx }$
$= \displaystyle{ \int { (1 - \sin x) (1 + \sin x) \over 1 + \sin x } \,dx}$
$= \displaystyle{ \int { (1 - \sin x) } \,dx }$
$= \displaystyle{ \int 1 \,dx - \int \sin x \,dx }$
$= \displaystyle{ x - (- \cos x ) + C }$
$= \displaystyle{ x + \cos x + C }$