Soluções Cálculo – Semana 28

Iniciante

$$\lim \limits_{x \rightarrow 3} \frac{5x^2-8x-13}{x^2-5}=\frac{5(3)^2-8(3)-13}{(3)^2-5}=\frac{8}{4}=2$$

Intermediário

Por Integração por Substituição, seja $$u = \ln x$$ tal que $$du=\displaystyle{1 \over x}dx$$.
Substitua no problema original:
$$ \displaystyle{ \int { 3 \over x \ln x } \,dx }=3 \displaystyle{ \int { 1 \over \ln x } \, { 1 \over x } dx}$$
$$ = 3 \displaystyle{ \int { 1 \over u } \, du } $$
$$ = 3 \displaystyle{ \ln \vert u \vert + C } $$
$$ = 3 \displaystyle{ \ln \vert \ln x \vert + C } $$

Avançado

Primeiro, reescreva a função utilizando a identidade trigonométrica $$cos^2x=1-sin^2x$$, simplifique-a e depois resolva-a.
$$ \displaystyle{ \int { \cos^2 x \over 1 + \sin x } \,dx } = \displaystyle{ \int { 1 – \sin^2 x \over 1 + \sin x } \,dx } $$
$$ = \displaystyle{ \int { 1^2 – \sin^2 x \over 1 + \sin x } \,dx } $$
$$ = \displaystyle{ \int { (1 – \sin x) (1 + \sin x) \over 1 + \sin x } \,dx}$$
$$ = \displaystyle{ \int { (1 – \sin x) } \,dx } $$
$$ = \displaystyle{ \int 1 \,dx – \int \sin x \,dx } $$
$$ = \displaystyle{ x – (- \cos x ) + C } $$
$$ = \displaystyle{ x + \cos x + C } $$