Soluções Cálculo – Semana 30

Iniciante

Pelas Regras do Produto e da Cadeia, $$f'(x)=7x(D(e^{x^2}))+D(7x)e^{x^2}$$
$$=7x(D(2x))e^{x^2}+7e^{x^2}=14x^2e^{x^2}+7e^{x^2}$$
$$=7e^{x^2}(2x^2+1)$$

Intemediário

Uma boa dica neste problema e que se use Integração por Substituição. Comece com $$ x = u^2 $$ e
$$ u=\sqrt{x} $$ tal que $$ dx = (2u) du $$.
Substitua no problema original, tendo-se:
$$\displaystyle{ \int { 1 \over 1+\sqrt{x} } \,dx } = \displaystyle{ \int { 1 \over 1+u } \, (2u) du }$$
$$= \displaystyle{ \int { 2u \over u+1 } \, du }$$
$$= \displaystyle{ \int \Big( 2 – {2 \over u+1} \Big) \, du }$$
$$= \displaystyle{ \int \Big( 2 – 2{1 \over u+1} \Big) \, du }$$
$$= \displaystyle{ 2u – 2 \ln \vert u+1\vert } + C$$
$$= \displaystyle{ 2\sqrt{x} – 2 \ln \vert\sqrt{x}+1\vert } + C$$

Avançado

Divida o intervalo $$[0,3]$$ em $$ n $$ partes iguais, cada uma de comprimento $$ \Delta x_{i} = \displaystyle{ 3-0 \over n } = \displaystyle{ 3 \over n } $$
para $$ i=1, 2, 3, …, n $$. Seja $$c_{i}$$ um número em $$[0,3]$$ escolhido arbitrariamente:
$$c_{i} = 0 + \Big( \displaystyle{ 3-0 \over n } \Big) i = \displaystyle{ 3i \over n }$$
para $$ i=1, 2, 3, …, n $$. A função é $$f(x) = x^2-1$$. Então, a integral a ser calculada é:
$$\displaystyle{ \int^{3}_{0} (x^2-1) \, dx }=\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(c_{i}) \Delta x_{i} }$$
$$= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f\Big({ 3i \over n }\Big) \Big({3 \over n}\Big) }$$
$$= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \Big( \Big({ 3i \over n } \Big)^2 – 1 \Big) \Big({3 \over n}\Big) }$$ $$= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \Big( { 9i^2 \over n^2 } – 1 \Big) \Big({3 \over n}\Big) }$$ $$= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \Big( { 27i^2 \over n^3 } – {3 \over n} \Big) }$$ $$= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \Big\{ \sum_{i=1}^{n}{ 27i^2 \over n^3 } – \sum_{i=1}^{n} {3 \over n} \Big\} }$$ $$= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \Big\{ { 27 \over n^3 }\sum_{i=1}^{n} i^2 – n \Big({3 \over n}\Big) \Big\} }$$ $$= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \Big\{ { 27 \over n^3 }{ n(n+1)(2n+1) \over 6 } – 3 \Big\} }$$
$$= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \Big\{ {9 \over 2}{ n \over n }{ n+1 \over n }{ 2n+1 \over n } – 3 \Big\} }$$
$$= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \Big\{ {9 \over 2}
(1)\Big({ n \over n }+{ 1 \over n }\Big) \Big({ 2n \over n }+{ 1 \over n }\Big) – 3 \Big\} }$$
$$= \displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \Big\{ {9 \over 2} \Big( 1+{ 1 \over n }\Big) \Big(2+{ 1 \over n }\Big) – 3 \Big\} }$$
$$= \displaystyle{ {9 \over 2}(1+0)(2+0) – 3 }$$
$$=6$$