Soluções Cálculo – Semana 31

Iniciante

$$\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{x+7}{3x+5}=”\frac{-\infty}{-\infty}”$$
Este limite induz uma indeterminação, $$”\frac{-\infty}{-\infty}”$$. Portanto, o truque aqui é modificar de alguma forma uma expressão que não se consegue trabalhar para uma mais simples, como a seguir:
$$=\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{(x+7)\frac{1}{x}}{(3x+5)\frac{1}{x}}$$
$$=\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{1+\frac{7}{x}}{3+\frac{5}{x}}$$
Como $$x \rightarrow -\infty$$, $$7/x$$ e $$5/x$$ tendem a zero:
$$=\lim \limits_{x \rightarrow -\infty} \frac{1+0}{3+0}=\frac{1}{3}$$

Intermediário

Por Integração por Substituição, seja $$u = 2x+3$$
tal que $$du = 2 dx$$ ou $$(1/2) du = dx$$. Substituindo no problema original:
$$\displaystyle{ \int 7^{2x+3} \, dx } = \displaystyle{ \int 7^u \, (1/2) du }$$
$$=\displaystyle{ (1/2) \int 7^u \, du }=(1/2) \displaystyle{ { 7^u \over \ln 7 } + C }=\displaystyle{ { 7^{2x+3} \over 2 \ln 7 } + C }$$
$$=\displaystyle{ { 7^{2x+3} \over \ln 7^2 } + C }=\displaystyle{ { 7^{2x+3} \over \ln 49 } + C }$$

Avançado

Por Integração por Partes, seja $$ u = \arcsin 2x \ \ $$ e $$dv=dx$$ tal que $$ du = \displaystyle{ 1 \over \sqrt{ 1 – (2x)^2 } } (2) dx = \displaystyle{ 2 \over \sqrt{ 1 – 4x^2 } } dx \ \ $$ e $$ \ \ v = x $$ .
Portanto, $$ \displaystyle{ \int \arcsin 2x \, dx } = x \arcsin 2x – \displaystyle{ \int x { 2 \over \sqrt{ 1 – 4x^2 } } \, dx } $$
$$ = x \arcsin 2x – \displaystyle{ 2 \int {x \over \sqrt{ 1 – 4x^2 } } \, dx }$$
Agora use Integração por Substituição. Seja $$ u = 1 – 4x^2 $$
tal que $$du = -8x \ dx$$ ou $$(-1/8) du = x \ dx$$. Então
$$\displaystyle{ \int \arcsin 2x \, dx } = x \arcsin 2x – \displaystyle{ 2\int {x \over \sqrt{ 1 – 4x^2 } } \, dx }$$
$$=x \arcsin 2x – \displaystyle{ 2\int {1 \over \sqrt{ 1 – 4x^2 } } \, x \ dx }$$
$$=x \arcsin 2x – \displaystyle{ 2\int {1 \over \sqrt{ u }} \, (-1/8) du }$$
$$=x \arcsin 2x + \displaystyle{ (1/4) \int {1 \over \sqrt{ u }} \, du }$$
$$=x \arcsin 2x + \displaystyle{ (1/4) \int u^{-1/2} \, du }$$
$$=x \arcsin 2x + (1/4) \displaystyle{ { u^{1/2} \over (1/2) } }+C$$
$$=x \arcsin 2x + (1/2) \displaystyle{ (1-4x^2)^{1/2} }+C$$
$$=x\arcsin 2x + (1/2) \sqrt{ 1-4x^2 }+C$$