Iniciante
Como deve perceber, à medida que $$x$$ vai tendendo a $$9$$, tanto o numerador quanto o denominador vão tendendo a zero. Portanto, precisamos reorganizar a expressão para que possamos tirar essa indeterminação. Poderíamos usar a regra de L’ospital, mas, para simplificar, uma outra forma de fazer isso é:
$$!\lim\limits_ {x \rightarrow 9} \frac{x-9}{\sqrt{x}-3}=\lim\limits_ {x \rightarrow 9} \frac{x-9}{\sqrt{x}-3}\cdot \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}=\lim\limits_ {x \rightarrow 9} \frac{(x-9)(\sqrt{x}+3)}{x-9}=\lim\limits_ {x \rightarrow 9} \sqrt{x}+3=6$$
Intermediário
Para ajudarmos Günter, precisamos derivar a função da topografia. Logo, teremos, pela regra do produto:
$$!x^2\cdot d[arcsin(x)]+d[x^2]\cdot arcsin(x)$$
Ou seja,
$$!x^2\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+2x\cdot arcsin(x)$$
Avançado
Aqui, o problema já requere uma complexidade um pouco maior. Primeiro, podemos achar as medidas do triângulo formado pelo chão, parede e escada, estes dois últimos representados pelos eixos $$x$$ e $$y$$, respectivamente.
Logo, admitindo que a parede, no instante inicial, tem altura $$h$$, teremos:
$$!\frac{h}{2}=tan(60) \rightarrow h\simeq 2\sqrt{3}$$
Depois, pelo teorema de Pitágoras, o comprimento da escada, chamado aqui de $$L$$ – que é constante – é:
$$!L^2=2^2+(2\sqrt{3})^2 \rightarrow L=4$$
Depois, por uma relação entre o $$x$$ e o $$y$$ de um círculo, temos:
$$!2\cdot x(t)\cdot \frac{dx}{dt}+2\cdot h(t)\cdot \frac{dh}{dt}=0$$
Ou seja, $$\displaystyle \frac{dx}{dt}$$ nós sabemos, que é $$10$$ $$cm/s$$, e $$\displaystyle \frac{dh}{dt}$$ é o que queremos saber: como que a altura varia à medida que a escada cai. Logo, teremos:
$$!\frac{dh}{dt}=-\frac{x(t)}{h(t)}\cdot \frac{dx}{dt}$$
(Quando $$h$$ diminui, $$x$$ aumenta e vice-versa)
$$!-\frac{2\cdot 100cm}{2\sqrt{3}\cdot 100cm}\cdot 10cm/s$$
Logo,
$$!\frac{dh}{dt}=-\frac{10\sqrt{3}}{3} cm/s$$
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