Escrito por Cauê da Costa, João Vilas e Vitor Camargo
Iniciante
Primeiramente vamos analisar os ganhos de EUclides no primeiro investimento. Ele inicia com 100 reais mas a cada ano ele ganhará 20% de 100 reais, ou seja, 20 reais. Assim, seu total será de 100 + 20t, onde t é o tempo em anos. Já no segundo investimento, ele inicia com os mesmos 100 reais mas a cada ano seu valor sobe em 115%. Assim, seu total será de 100*1,15^t. Queremos encontrar t de forma que 100+20t<100*1,15^t. Podemos dividir os dois lados da equação por 20, resultando em 5+t<5*1,15^t. Infelizmente não há como achar uma solução analítica para o valor exato de t, mas como estamos interessados apenas em valores inteiros, podemos dispor de outras maneiras para aproximar a resposta. Se colocarmos alguns valores na calculadora, percebemos logo que não são necessários valores muito grandes de t. Para t=5, o segundo investimento já tem um rendimento maior, pois 5*1,15⁵ é aproximadamente 10.05, enquanto 5+(5)=10. Colocando então t=4, vemos que o primeiro investimento ainda estaria rendendo mais, pois 5+(4)=9 enquanto 5*1,15⁴ é aproximadamente 8,74. Vale lembrar que esses valores não são o retorno dele, pois inicialmente dividimos a inequação por 20. Sendo assim, apenas a partir de 5 anos seria mais rentável investir na segunda opção.
Intermediário
O primeiro passo para solucionar esse problema é encontrar o preço e quantidade de equilíbrio desse mercado competitivo para o produto em questão. Para fazer isso, igualamos a quantidade de demanda e a quantidade de oferta para encontrarmos o preço de equilíbrio do mercado. Dessa forma:
$$Q_d = Q_s$$
$$200-5P = 3P$$
$$P_{eq} = 25$$ e $$Q_{eq} = 75$$
Com isso, vamos analisar a implementação da taxa de R$8,00 do governo. Seja $$x$$ e $$y$$ as variações no preço pago pelo comprador e no preço recebido pelo vendedor, respectivamente. Assim temos:
$$200 – 5(P_{eq} + x) = 3(P_{eq} – y)$$
$$5x = 3y$$
Sabemos também que:
$$ x + y = 8 $$
$$ \dfrac{3y}{5} + y = 8$$
$$ y = 5 $$ e $$ x = 3 $$
$$Q’_{eq} = 3 \cdot 20 = 60$$
Com isso, temos que o preço pago pelo comprador será R$28,00 (25 + 3) e o recebido pelo vendedor será dado por R$20,00 (25-5). Observando o gráfico abaixo, podemos identificar que o peso morto gerado é representado pelo triângulo de base 8 e vértice oposto sendo o ponto de equilíbrio. O peso morto gerado (PM) , é dado, portanto, pela área desse triângulo. Como já temos o valor da base, basta encontrar o valor da altura, que é dada pela diferença entre a quantidade de equilíbrio e a quantidade com a taxa implementada, assim:
$$ PM= \dfrac{8 \cdot (75 – 60)}{2}$$
$$\boxed{PM = 60}$$
Avançado
Primeiramente, precisamos montar a função utilidade e a restrição. A função utilidade é dada no enunciado:
$$\displaystyle U(x,y)=\sqrt{xy}$$
A restrição também pode ser facilmente encontrada com os dados fornecidos:
$$\displaystyle 5x+60y=480$$
Isto é, o valor total gasto com chaveiros e pelúcias deve ser igual a 480. Podemos, então, montar a função lagrangeana deste problema:
$$\displaystyle L=\sqrt{xy}-\lambda(5x+60y-480)$$
O próximo passo é igualar as derivadas parciais de primeira ordem a 0:
$$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}-5\lambda=0$$
$$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial y}=\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y}}-60\lambda=0$$
$$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(5x+60y-480)=0$$
Das equações (1) e (2), temos que:
$$\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{120\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{y}}{10\sqrt{x}}$$
$$\displaystyle x=12y$$
Substituindo na equação (3):
$$\displaystyle 5(12y)+60y=480$$
$$\displaystyle 120y=480$$
$$\displaystyle \boxed{y=4}$$
E, portanto:
$$\displaystyle \boxed{x=48}$$
Concluímos, então, que Wilhelmo deve comprar $$48$$ chaveiros e $$4$$ pelúcias na lojinha da Econolândia.