Escrito por João Vilas, Vitor Camargo e Cauê da Costa
Revisado por Nícolas Goulart
Iniciante
A taxa de desemprego (chamaremos de $$T_D$$ nesse problema) é dada pela razão entre pessoas desempregadas, independente da causa, pela quantidade de pessoas que estão presentes na força de trabalho. Então temos que a taxa de desemprego pode ser calculada como:
$$ T_D = \dfrac{1600 + 2400 + 2000}{1600 + 2400 + 2000 + 44000} $$
$$ T_D = \dfrac{6000}{50000} $$
$$ \boxed{T_D = 12\%} $$
Intermediário
Em um leilão de valor comum, todos os compradores têm uma estimativa do valor real do objeto leiloado, mas ninguém sabe exatamente qual ele é. Essa incerteza os incentiva a reduzir seus lances, de modo a evitar a maldição do vencedor (i.e. de modo a evitar pagar pelo objeto mais do que ele realmente vale). Ao fornecer mais informações sobre o objeto leiloado, o vendedor reduz a incerteza sobre o valor real do objeto. Quanto mais informações os compradores têm, portanto, maior será a confiabilidade de suas estimativas, e menor a redução de seus lances.
Avançado
Seja $$x$$ a porcentagem que EUclides investiu na empresa A em seu portfólio. Como há apenas duas empresas, a porcentagem investida na empresa B será de $$1-x$$. Temos que a fórmula para calcular o risco de um portfólio $$\sigma_p$$ de apenas 2 empresas é dado por:
$$\sigma_p = \sqrt{w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2\sigma_B^2 + 2 w_A w_B cov_{AB}}$$
Não iremos provar a fórmula para a resolução da questão. Mas $$w_i$$ representa o peso da empresa $$i$$ no portfólio. Em nosso caso é $$x$$ para a empresa A e $$1-x$$ para a empresa B. $$\sigma_i$$ representa o desvio padrão dos valores da empresa $$i$$, e $$cov_{AB}$$ representa a covariância entre as empresas. Por hora vamos escrevê-los dessa forma.
Assim, temos que:
$$\sigma_p = \sqrt{x^2 \sigma_A^2 + (1-x)^2\sigma_B^2 + 2 x(1-x) cov_{AB}}$$
Expandindo os termos e juntando fatores iguais temos:
$$\sigma_p = \sqrt{x^2 ( \sigma_A^2 +\sigma_B^2 – 2cov_{AB}) + 2x(cov_{AB} -\sigma_B^2) + \sigma_B^2}$$
Como queremos encontrar o mínimo da função, estamos procurando um valor de $$x$$ onde $$\dfrac{d\sigma_p}{dx} = 0$$. Assim, temos:
$$\dfrac{d\sigma_p}{dx} = \dfrac{2x( \sigma_A^2 +\sigma_B^2 – 2cov_{AB}) +2(cov_{AB} -\sigma_B^2)}{2\sqrt{x^2 ( \sigma_A^2 +\sigma_B^2 – 2cov_{AB}) + 2x(cov_{AB} -\sigma_B^2) + \sigma_B^2}} = 0$$
Obs: veja que $$\dfrac{d(\sqrt{f(x)})}{dx} = \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$$
Perceba que, por estar no denominador, o termo de baixo não pode ser zero. Sendo assim, o númerador precisa ser zero para que encontremos a raíz da função. Assim:
$$ 2x( \sigma_A^2 +\sigma_B^2 – 2cov_{AB}) +2(cov_{AB} -\sigma_B^2) = 0$$
$$x = \dfrac{\sigma_B^2 – cov_{AB}}{\sigma_A^2 +\sigma_B^2 – 2cov_{AB}}$$
Ainda não temos certeza se esse é um local máximo ou mínimo, e nem temos informação sobre o valor numérico de $$x$$. Portanto agora apenas nos resta calcular os valores de $$\sigma_A$$, $$\sigma_B$$ e $$cov_{AB}$$. Não iremos apresentar as fórmulas e iremos direto ao resultado dos valores com base na tabela dada, já que há ferramentas como calculadoras científicas ou excel que calculam esses valores automaticamente. Temos então que:
$$\sigma_A = 0,057706152$$
$$\sigma_B = 0,039115214$$
$$cov_{AB} = -0,000555$$
Deixaremos como tarefa ao leitor conferir que aquele de fato é um local mínimo. (Dica: coloque valores maiores e menores na função derivada e veja como o sinal se comporta)
Sendo assim, podemos colocar os valores obtidos na expressão já encontrada e teremos que:
$$\boxed{x = 0.349246231}$$
Podemos então concluir que, para EUclides diminuir seu risco, ele deve investir aproximadamente 35% na empresa A e 65% na empresa B.