Soluções Física – Semana 101

Resultante Centrípeta

Devemos determinar que forças atuam como resultante centrípeta para cada massa, e então usar a definição desta, isto é:

$F_{cp}=m\omega^2 r$

Com $r$ sendo a distância ao eixo. Para a massa mais exterior, ligada ao quarto fio:

$T_{4}=m\omega^2(4L)=4m\omega^2 L$

Para a massa anterior, ligada aos fios $3$ e $4$:

$T_{3}-T_{4}=m\omega^2 (3L)$

$T_{3}=7m\omega^2 L$

Para a massa ligada aos fios $2$ e $3$:

$T_{2}-T_{3}=m\omega^2 (2L)$

$T_{2}=9m\omega^2 L$

Por fim, para massa mais interior, ligada aos fios $1$ e $2$:

$T_{1}-T_{2}=m\omega^2 (L)$

$T_{1}=10m\omega^2 L$

Perceba que a tração aumenta com a diminuição do raio da trajetória da partícula.

$T_{1}=10m\omega^2 L$

$T_{2}=9m\omega^2 L$

$T_{3}=7m\omega^2 L$

$T_{4}=4m\omega^2 L$

Efeito Doppler e Batimentos

Como há velocidade relativa entre o observador e a fonte (os carros), ocorrerá Efeito Doppler e a frequência emitida por cada carro será diferente de $f_{0}$, e devemos, então, determiná-las. Da expressão para a frequência alterada $f'$ devido ao Efeito Doppler:

$f'=f_{0}\dfrac{v \pm v_{0}}{v \pm v_{f}}$

Onde $v$ é a velocidade do som, $v_{0}$ a do observador e $v_{f}$ a da fonte. Utilizemos a convenção de que o sentido positivo está dirigido do observador para a fonte. Na situação em questão, $v_{0}= 0$ e $v_{f} = \pm u$. Para o carro que se aproxima do observador:

$f_{1}=f_{0}\dfrac{v}{v-u}$

Já para o carro que se afasta do observador:

$f_{2}=f_{0}\dfrac{v}{v+u}$

Contudo, essas duas frequências (que devem ser próximas entre si) geram um batimento de frequência $f$, que é dada pela diferença entre a maior e a menor frequência. Logo:

$f=f_{1}-f_{2}$

$f=f_{0}\dfrac{v}{v-u}-f_{0}\dfrac{v}{v+u}$

Rearranjando os termos, temos uma equação do 2o grau em $u$:

$u^2+\dfrac{2f_{0}v}{f}u - v^2=0$

Que pode ser resolvida utilizando-se Bháskara:

$u=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \dfrac{\dfrac{-2f_0v}{f} \pm \dfrac{2f_0v}{f}\sqrt{1+\left(\dfrac{f}{f_0}\right)^2}}{2}$

Onde escolheremos a solução positiva, pois, caso contrário, obteríamos uma frequência negativa, que é absurdo. Logo:

$u=\dfrac{f_0 v}{f} \left(\sqrt{1+\left(\dfrac{f}{f_0}\right)^2} - 1\right)$

$u=\dfrac{f_0 v}{f} \left(\sqrt{1+\left(\dfrac{f}{f_0}\right)^2} - 1\right)$

Corrente Elétrica e Associação de Resistores

a) Podemos imaginar o condutor cilíndrico em questão como uma associação de diversos cilindros condutores de espessura $dr$ e resistência infinitesimal $dR$. Tendo em vista que todos estão submetidos à uma mesma diferença de potencial, eles constituem uma associação em paralelo. Utilizando a Segunda Lei de Ohm, podemos escrever $dR$:

$dR=\dfrac{\rho l}{dA}$

$dR=\dfrac{\dfrac{\alpha}{r^2}*l}{2\pi r dr}$

$dR=\dfrac{\alpha l}{2 \pi r^3 dr}$

Para uma associação de resistores em paralelo convencional (discreta), a resistência equivalente seria dada por:

$\dfrac{1}{R}=\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+...+\dfrac{1}{R_N}$

Para uma distribuição contínua, substituímos a soma por uma integral:

$\dfrac{1}{R}=\displaystyle \int \dfrac{1}{dR}$

$\dfrac{1}{R}=\displaystyle \int \limits_0^a \dfrac{2 \pi r^3 dr}{\alpha l}$

Onde simbolizamos por $a$ o raio do condutor, e a integral varre toda a sua secção reta, de forma a computar todas as contribuições dos resistores concêntricos. Do enunciado, $S=\pi a^2$:

$\dfrac{1}{R}=\dfrac{S^2}{2 \alpha \pi l}$

E então isolamos $\dfrac{R}{l}$, que é a resistência por unidade de comprimento:

$\dfrac{R}{l}=\dfrac{2 \pi \alpha}{S^2}$

b) Tendo em vista que estamos considerando o condutor ôhmico, podemos utilizar a Primeira Lei de Ohm:

$\Delta V=RI$

Resta-nos determinar a diferença de potencial entre suas extremidades. Utilizemos a definição de potencial:

$\Delta V_{AB} = -\displaystyle \int \limits_A^B \vec{E} \cdot d\vec{l}$

Como o condutor é longo e simétrico, o campo será constante. Desta forma:

$|\Delta V| = El$

$RI=El=\dfrac{2 \pi \alpha I l}{S^2}$ $\therefore$

$E=\dfrac{2 \pi \alpha I}{S^2}$

a) $\dfrac{R}{l}=\dfrac{2 \pi \alpha}{S^2}$

b) $E=\dfrac{2 \pi \alpha I}{S^2}$