Escrito por Ualype Uchôa
Iniciante:
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Análise Dimensional
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Aqui, nos deparamos com um problema de análise dimensional, pois foi pedida apenas a dependência de $$\ni$$ com as outras grandezas. Sendo assim, podemos escrever a dimensão de $$\ni$$ como sendo:
$$[\ni]=[\rho]^{\alpha}[R]^{\beta}[G]^{\gamma}$$
Para aqueles não familiarizados com tal notação, $$”[ ]”$$ representa a dimensão física de determinada grandeza. Trabalhando no SI, sabemos de forma direta que $$[\ni]=s^{-1}$$, $$[\rho]=kg.m^{-3}$$ e $$[R]=m$$. Para encontrarmos $$[G]$$, utilizamos a Lei da Gravitação Universal $$\left(F=\dfrac{GMm}{d^2}\right)$$, da qual decorre que a dimensão de $$G$$ é de $$m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}$$. Substituindo os resultados na primeira equação:
$$[\ni]=(kg.m^{-3})^{\alpha}m^{\beta}(m^{3}.kg^{-1}.s^{-2})^{\gamma}$$
$$s^{-1}=kg^{(\alpha – \gamma)}m^{(\beta+3\gamma-3\alpha)}s^{-2\gamma}$$
Para que a dimensão de ambos os lados seja igual, temos que os expoentes de $$kg$$ e $$m$$ devem ser zero, e o de $$s$$ deve ser $$-1$$. Logo, temos que:
$$\alpha=\gamma$$ $$(1)$$
$$\beta+3\gamma-3\alpha=0$$ $$(2)$$
$$\gamma=\dfrac{1}{2}$$ $$(3)$$
De $$(3)$$ em $$(1)$$, $$\alpha=\dfrac{1}{2}$$, e de $$(3)$$ e $$(1)$$ em $$(2)$$, $$\beta=0$$. Por fim, podemos escrever:
$$\ni \propto \sqrt{\rho G}$$
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\ni \propto \sqrt{\rho G}$$
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Intermediário:
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Termologia e Conservação de Energia
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
O segredo deste problema é identificar como será utilizado o calor $$Q$$ fornecido às esferas. A princípio, não deveria haver diferença na temperatura final de ambas as esferas; contudo, o calor $$Q$$, por conservação de energia, transforma-se em energia térmica, aquecendo a esfera, e, também, em um acréscimo/decréscimo de energia potencial gravitacional, pois a esfera se expande durante o processo, logo, sua força peso deve realizar trabalho para elevar/descer seu centro de massa, que, dependendo da esfera, será positivo ou negativo, o que causará uma diferença nas temperaturas finais atingidas. Com a compreensão teórica do problema, podemos iniciar a equacioná-lo. Em ambas as esferas, o nível de referência para o cálculo da energia potencial será o seu $$CM$$ inicial. Escrevendo a conservação de energia para a esfera $$B$$:
$$Q=C \Delta T + U$$
$$Q=C \Delta T + mg \Delta R$$
Utilizando a dilatação linear da esfera, podemos descobrir $$\Delta R$$:
$$\Delta R = R \alpha \Delta T$$
$$Q=(C+mgR \alpha) \Delta T$$
$$\Delta T = \dfrac{Q}{C+mgR \alpha}$$
$$T_B=\dfrac{Q}{C+mgR \alpha}+T_0$$
No mesmo processo, para $$A$$, a diferença está na energia potencial, pois seu $$CM$$, ao final, encontra-se mais abaixo de sua posição inicial. Logo a energia potencial final é $$-mg\Delta R$$. Assim:
$$T_A=\dfrac{Q}{C-mgR\alpha}+T_0$$
Logo:
$$T_A-T_B = \dfrac{Q}{C-mgR\alpha} – \dfrac{Q}{C+mgR\alpha}$$
$$T_A-T_B = \dfrac{2mgRQ\alpha}{C^2-m^2g^2R^2 \alpha^2}$$
Como $$\alpha$$ é, em geral, muito pequeno, podemos desprezar o termo de segunda ordem no denominador, deixando a resposta com uma aparência levemente mais agradável:
$$T_A-T_B \approx \dfrac{2mgRQ\alpha}{C^2}$$
Note que a temperatura final da esfera $$A$$ é maior.
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$T_A-T_B = \dfrac{2mgRQ\alpha}{C^2-m^2g^2R^2 \alpha^2} \approx \dfrac{2mgRQ\alpha}{C^2}$$
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Avançado:
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Oscilações acopladas
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Escolhamos a origem na massa $$m$$ quando a mola está não deformada. Seja $$x_1$$ a coordenada de $$m$$ e $$x_2$$ a coordenada da massa pendular. Obteremos as equações de movimento pela 2a Lei de Newton. Sendo $$T$$ a tração no fio, para o pêndulo, temos, na vertical:
$$T\cos{\phi}=Mg$$
$$T \approx Mg$$
E na horizontal:
$$-T\sin{\phi}=M\ddot{x_2}$$
Mas observe que $$\sin{\phi}=\dfrac{x_2-x_1}{L}$$, logo:
$$\ddot{x_2}+\dfrac{g}{L}x_1-\dfrac{g}{L}x_2=0$$
$$\ddot{x_2}+ \omega_{p}^2 x_1 – \omega_{p}^2 x_2 = 0$$ $$(1)$$
Para a massa $$m (=M)$$, não olharemos para as forças na vertical. Na horizontal, temos a força elástica e a tração do fio (apontando no sentido positivo). Sendo assim:
$$-kx_1+T\sin{\phi}=m\ddot{x_1}$$
$$-\omega_{s}^2 x_1 + \omega_{p}^2 x_2 – \omega_{p}^2 x_1 = \ddot{x_1}$$
$$\ddot{x_1}+(\omega_{s}^2+\omega_{p}^2)x_1+\omega_{p}^2 x_2 = 0$$ $$(2)$$
Em posse das equações de movimento, podemos determinar as frequências naturais de oscilação; isto é, as frequências de oscilação nos modos normais. Como, em qualquer um desses modos, a frequência de oscilação de ambos os corpos é igual, podemos chutar uma solução oscilatória para cada um dos corpos: para a massa $$m$$, $$x_1(t)=A\cos{\omega t}$$ e $$x_2(t)=B\cos{\omega t}$$. Não nos preocuparemos com as fases iniciais, pois buscamos apenas as frequências, e não descrever o movimento com rigor. Nosso objetivo será relacionar as constantes $$A$$ e $$B$$ de forma a isolar $$\omega$$. Substituindo $$x_1$$ e $$x_2$$ e suas demais derivadas nas equações de movimento, obtemos as seguintes relações:
De $$(1)$$:
$$\dfrac{A}{B}=\dfrac{\omega_{p}^2}{\omega^2-\omega^2}$$
De $$(2)$$:
$$\dfrac{A}{B}=\dfrac{\omega_{p}^2+\omega_{s}^2-\omega^2}{\omega_{p}^2}$$
Fazendo a igualdade de ambas as expressões acima, e com um pequeno esforço algébrico, chegamos à seguinte equação biquadrática:
$$\omega^4-(2\omega_{p}^2+\omega_{s}^2)\omega^2+\omega_{p}^2 \omega_{s}^2=0$$
Fazendo a substituição $$\omega^2=\alpha$$, a equação reduz-se à uma do segundo grau, cuja solução é facilmente obtida pela fórmula de Bháskara.
$$\omega=\pm \left[\dfrac{1}{2}(2\omega_{p}^2+\omega_{s}^2) \pm \dfrac{1}{2}(4\omega_{p}^2+\omega_{s}^4)^{\dfrac{1}{2}}\right]^{\dfrac{1}{2}}$$
As quatro soluções matematicamente possíveis reduzem-se a apenas duas com sentido físico (que correspondem às frequências nos dois modos de oscilação normal), tendo em vista que o sinal de $$”-“$$ no lado de fora dos colchetes torna a frequência negativa, o que não tem sentido. Sendo assim, as duas frequências podem ser condensadas na seguinte resposta:
$$\omega=\left[\dfrac{1}{2}(2\omega_{p}^2+\omega_{s}^2) \pm \dfrac{1}{2}(4\omega_{p}^4+\omega_{s}^4)^{\dfrac{1}{2}}\right]^{\dfrac{1}{2}}$$
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$$\omega=\left[\dfrac{1}{2}(2\omega_{p}^2+\omega_{s}^2) \pm \dfrac{1}{2}(4\omega_{p}^4+\omega_{s}^4)^{\dfrac{1}{2}}\right]^{\dfrac{1}{2}}$$
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