Escrito por Paulo Henrique
Iniciante
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Cinemática
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
A velocidade relativa entre os corpos é (seu módulo ao quadrado):
\[v^2=\left(V_0\cos{\alpha}+V_0\cos{\beta}\right)^2+\left(V_0\sin{\alpha}-gt-\left(V_0\sin{\alpha}-gt\right)\right)^2\]
\[v=V_0\sqrt{2\left(1+\cos{\left(\alpha+\beta\right)}\right)}\]
Como essa velocidade é constante em direção e módulo:
\[d=V_0\delta{t}\sqrt{2\left(1+\cos{\left(\alpha+\beta\right)}\right)}\]
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
\[d=V_0\delta{t}\sqrt{2\left(1+\cos{\left(\alpha+\beta\right)}\right)}\]
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Intermediário
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Termodinâmica: gás ideal [/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Considere, por simplicidade, que o gás escapa com velocidade horizontal $$<v>$$. O gás dentro do recipiente tem volume constante, assim como sua temperatura. O que variará durante a transformação é a pressão e o número de partículas. Seja $$n$$ a concentração de partículas. Pela lei dos gases:
\[P=nkT\]
Após um tempo infinitesimal $$dt$$, podemos escrever:
\[-n{\pi}R^2<v>=\dfrac{dN}{dt}\]
Onde $$N$$ é o número de partículas. Logo:
\[dt=-\dfrac{dN}{N}\dfrac{V}{{\pi}R^2<v>}\]
Como $$T$$ é constante:
\[\dfrac{dN}{N}=\dfrac{dP}{P}\]
Agora, basta integrarmos:
\[\Delta{t}=\dfrac{V}{{\pi}R^2<v>}\int_{P_0}^{P_C} \dfrac{dP}{P}\]
\[\Delta{t}=\dfrac{V}{{\pi}R^2<v>}ln(\dfrac{P_0}{P_C})\]
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]\[\Delta{t}=\dfrac{V}{{\pi}R^2}ln(\dfrac{P_0}{P_C})\][/spoiler]
Avançado
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Óptica geométrica: princípio de Fermat
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) O caminho óptico é: $$L_{OP}=\int_{A}^{B} n(x,y,z)ds=n_0\int_{A}^{B} ds$$. O mínimo dessa integral é quando o caminho é uma reta.
b) Seja $$h_a$$ a altura do ponto $$A$$, acima do plano e $$h_b$$ a altura do ponto $$B$$, abaixo do plano. Considere que a distância horizontal entre $$A$$ e $$B$$ seja $$L$$. Todos esses parâmetros são fixos. Primeiramente, pela solução do item a, a trajetória de um raio de luz em qualquer dos meios é uma reta, não necessariamente a mesma. Seja $$P$$ o ponto da interface no qual essa duas retas se encontram. $$A$$, $$B$$ e $$P$$ devem estar contidos em um mesmo plano. Veja, seja $$\Delta{z}$$ a distância fora do plano entre os pontos $$P$$ e $$B$$ (os eixos são tais que $$z_a=z_p$$), o caminho óptico é:
\[L(x,\Delta{z})=n_1\sqrt{h_A^2+x^2}+n_2\sqrt{(L-x)^2+h_B^2+{\Delta{z}}^2}\]
Onde $$x$$ é a distância horizontal entre os pontos $$A$$ e $$P$$. Da equação acima, fica claro que $$\Delta{z}=0$$ para a minimização. Derivamos $$L$$ em relação à $$x$$, o resultado deve ser nulo. Logo:
\[n_1\sin{\theta_1}=n_2\sin{\theta_2}\]
Onde foi usado que $$\sin{\theta_1}=\dfrac{x}{\sqrt{h_A^2+x^2}}$$ e $$\sin{\theta_2}=\dfrac{(L-x)}{(L-x)^2+h_B^2}$$
c) O processo é análogo ao do item anterior: escrevemos $$L$$ como função de $$\theta$$, derivamos e igualamos a zero.
\[L=n_1\sqrt{h_1^2+(L-x)^2}+n(\theta)\sqrt{h_2+x^2}\]
Derivando e igualando a zero, e usando que $$\cos{\theta}=\dfrac{h_2}{\sqrt{h_2^2+x^2}}$$ e $$\sin{\theta}=\dfrac{x}{\sqrt{h_2^2+x^2}}$$, chegamos em:
\[n_i\sin{\theta_i}=\dfrac{n_e^2\tan{r}}{\sqrt{n_0^2+n_e^2\tan^2{r}}}\]
Onde o subscrito $$i$$ e $$r$$ representam o meio de incidência e de refração, respectivamente.
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Uma reta
b) Demonstração
c)
\[n_i\sin{\theta_i}=\dfrac{n_e^2\tan{r}}{\sqrt{n_0^2+n_e^2\tan^2{r}}}\]
Onde o subscrito $$i$$ e $$r$$ representam o meio de incidência e de refração, respectivamente.
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