Escrito por Paulo Henrique
Iniciante
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Segunda lei de Newton: polias
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Seja $$a_i$$ a aceleração vertical da massa $$i$$, $$i=1,2$$ e $$3$$, da esquerda para a direita. Considere $$T_1$$ a tração no fio que conecta as massas $$1$$ e $$2$$ e $$T_2$$ a tração na outra parte do fio. Observe que essas trações não são iguais, a priori. Pela segunda lei de Newton, obtemos $$3$$ equações que, juntamente com as duas equações de vínculo, determinam todas as $$5$$ icóginitas.
\[ma_1=T_1-mg\]
\[ma_2=T_1-mg-T_2\]
\[ma_3=2T_2-mg\]
Observe que o termo $$2T_2$$ da equação acima surge do equilíbrio da polia ideal mais baixa na figura do enunciado. Evidentemente, pelo vínculo que o fio da esquerda impõe:
\[a_1=-a_2\]
Agora, a outra parte do fio impõe um vínculo entre as acelerações das massas $$2$$ e $$3$$. Se a massa $$2$$ sobe $$x$$, a massa $$3$$ deve subir $$x/2$$ a fim de manter o comprimento do fio constante, logo, $$2a_3=a_2$$. Com as cinco equações, resolvemos para $$a_i$$:
\[a_1=2g/9\]
\[a_2=-2g/9\]
\[a_3=-g/9\]
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\[a_1=2g/9\]
\[a_2=-2g/9\]
\[a_3=-g/9\]
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Intermediário
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Mecânica: conservação de energia com corpos rígidos
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Seja $$R$$ o raio do cilindro maior e $$r$$ o raio do cilindro menor. Nessa solução, utilizaremos a conservação de energia para encontrarmos a equação de movimento, qualquer outro formalismo também servirá, se usado corretamente. A energia potencial é simplesmente
\[U=mg(R+r)\cos{\theta}\]
Onde $$\theta$$ será a coordenada utilizada para localizar o centro do cilindro móvel (o cilindro começa em $$\theta=0$$). Observe que o sistema só tem um grau de liberdade, portanto, a coordenada $$\theta$$ é suficiente para caracterizar todo o movimento (a menos de uma constante arbitrária, que é a condição inicial do ângulo $$\phi$$, o ângulo que o cilindro gira em torno de si). Como o cilindro gira, inicialmente, sem deslizar, podemos escrever a seguinte relação entre os ângulos $$\phi$$ e $$\theta$$:
\[r\dot{{\phi}}=(R+r)\dot{\theta}\]
Que é obtida impondo que a velocidade do ponto do cilindro instantaneamente em contato com a superfície do cilindro fixo é nula. Podemos escrever a energia cinética do sistema como sendo a energia cinética de um corpo pontual de massa igual a massa $$m$$ do cilindro cuja posição coincide com a posição do centro de massa (que nesse caso é o centro geométrico do cilindro) do cilindro mais a energia cinética do corpo no referencial desse ponto, essa ultima parcela é conhecida como energia cinética de rotação, justamente pelo fato que o movimento do corpo em relação ao $$C.M.$$ é uma simples rotação. O momento de inércia do cilindro homogêneo (girando em torno do eixo de simetria) é $$I=\dfrac{mr^2}{2}$$. Logo, a energia do sistema é:
\[mg(R+r)\cos{\theta}+\dfrac{m(R+r)^2{\dot{\theta}}^2}{2}+\dfrac{I{\dot{\phi}}^2}{2}\]
Usando a equação de vínculo, escrevamos a energia total do sistema como função do ângulo $$\theta$$:
\[E(\theta)=mg(R+r)\cos{\theta}+\dfrac{3}{4}m(R+r)^2{\dot{\theta}}^2\]
Se o cilindro não desliza, a energia total é conservada, portanto, sua primeira derivada em relação à $$\theta$$ é nula, essa operação determina a equação de movimento:
\[\ddot{\theta}=\dfrac{2}{3}\dfrac{g\sin{\theta}}{(R+r)}\]
A aceleração tangencial do cilindro é:
\[a_t=(R+r)\ddot{\theta}=mg\sin{\theta}+f\]
Onde na última igualdade da equação acima, $$f$$ é a força de atrito estático. Logo:
\[f(\theta)=-\dfrac{1}{3}mg\sin{\theta}\]
Agora, devemos encontrar a força normal para relacionarmos com a força de atrito através do coeficiente de atrito. Para isso, escrevamos as relações de força centrípeta e conservamos a energia entre a posição inicial do cilindro e uma posição genérica $$\theta\le{\alpha}$$ onde $$\alpha$$ é o ângulo no qual o cilindro começa a deslizar, a partir desse momento, a equação de movimento não é mais válida, evidentemente.
Força centrípeta:
\[mg\cos{\theta}-N(\theta)=m{\dot{\theta}}^2(R+r)\]
Conservação de energia:
\[mg(R+r)=mg(R+r)\cos{\theta}+\dfrac{3}{4}m(R+r)^2{\dot{\theta}}^2\]
Juntando as duas equações acima, obtemos $$N(\theta)$$:
\[N=\dfrac{mg}{3}\left(7\cos{\theta}-4\right)\]
Finalmente, façamos $$\dfrac{f(\alpha)}{N(\alpha)}=\mu$$, para descobrirmos $$\alpha$$. O processo agora é puramente braçal. Uma sugestão é elevar ao quadrado os dois lados da equação obtida acima. Isso resultará numa equação quadrática para $$\cos{\alpha}\equiv{\lambda}$$. As duas soluções são:
\[\lambda_1=\dfrac{28{\mu}^2+\sqrt{33{\mu}^2+1}}{49{\mu}^2+1}\]
e
\[\lambda_2=\dfrac{28{\mu}^2-\sqrt{33{\mu}^2+1}}{49{\mu}^2+1}\]
Como escolher a solução correta? Veja, para $$\mu=0$$ o cilindro deve sempre deslizar, portanto, $$\alpha$$ deve ser igual a zero. Seguinda essa linha de raciocínio, a solução correta é $$\lambda_1$$.
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Demonstração
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Avançado
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Termodinâmica: primeira lei
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O êmbolo condutor mantém a temperatura de ambas secções iguais a $$T$$. Um agente externo deve realizar trabalho no sistema. Como não há calor:
\[dW=-dU_{SIS}=-\dfrac{2nRdT}{{\gamma}-1}\]
Onde $$n$$ é o número de mols de cada secção. Como o êmbolo está em equilibrio a todo instante:
\[dW=\left(p_2-p_1\right)dV\]
Onde o subcrito 1 e 2 correspondem às secções em expansão e compressão, respectivamente. Pela lei dos gases:
\[p_1(V_0+Sx)=nRT=p_2(V_0-Sx)\]
Onde $$x$$ é o deslocamento do êmbolo e $$S$$ é sua área transversal. Logo, juntando as equações acima e definindo $$V\equiv{Sx}$$:
\[\dfrac{dT}{T}=({\gamma}-1)\dfrac{VdV}{V_0^2-V^2}\]
Agora, escrevemos $$V$$ em função de $$\eta$$:
\[(V_0+V)=\eta(V_0-V)\]
\[V=\dfrac{{\eta}-1}{{\eta}+1}V_0\]
Finalmente, façamos a integral:
\[ln(\dfrac{T}{T_0})=({\gamma}-1)\int_{0}^{V} \dfrac{VdV}{V_0^2-V^2}\]
Realizando a integral e fazendo simplificações:
\[T=T_0\left(\dfrac{({\eta}+1)^2}{4\eta}\right)^{\dfrac{{\gamma}-1}{2}}\]
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\[T=T_0\left(\dfrac{({\eta}+1)^2}{4\eta}\right)^{\dfrac{{\gamma}-1}{2}}\]
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