Escrito por Ualype Uchôa
Iniciante
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Análise dimensional e Mecânica
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Primeiramente, vamos utilizar o fato de que o comprimento da perna é proporcional ao comprimento total do animal. Sendo $$C$$ o comprimento do dinossauro e $$c$$ o da galinha, vale
$$\dfrac{L}{l}=\dfrac{C}{c}$$.
A segunda informação é que a resistência (força por área) sobre os ossos de ambos os animais é igual; isto é, o peso sobre a secção reta do osso da perna é o mesmo. Logo, seja $$m$$ a massa da galinha e $$M$$ a massa do dinossauro, e $$s$$ e $$S$$ as respectivas secções do osso:
$$\dfrac{Mg}{S}=\dfrac{mg}{s}$$,
$$\dfrac{M}{m}=\dfrac{S}{s}$$.
Mas, por análise dimensional, a massa dos animais é proporcional à terceira potência de seu comprimento, com a constante de proporcionalidade estando relacionada à densidade média. Podemos considerar que esta é igual para ambos, o que nos permite escrever
$$\dfrac{M}{m}=\dfrac{C^3}{c^3}$$.
Combinando-se as três relações, chegamos em
$$L=l\left(\dfrac{S}{s}\right)^{1/3}=lN^{1/3}$$.
Substituindo:
$$L=15*(10^4)^{1/3}$$ $$cm$$ $$\approx 3.2$$ $$m$$.
É de se esperar que o comprimento da perna seja próximo de $$A$$, o que está de acordo com o resultado obtido.
b) Devemos perceber que cada perna demora $$1$$ período para varrer a distância $$A$$, pois, periodicamente, ela para durante meio período para que a outra perna ande também. Então, a velocidade média vale:
$$v=\dfrac{A}{\tau}=\dfrac{A}{2 \pi} \sqrt{\dfrac{g}{L}}$$.
Substituindo os valores:
$$v \approx 1.1$$ $$m/s$$,
que é próxima à velocidade de caminhada de um ser humano, o que é razoável. Poderíamos aprimorar a estimativa considerando que o movimento da perna é correspondente à oscilação de um pêndulo físico em vez de um pêndulo simples, o que leva em conta o formato da perna, que pode ser considerada uma barra homogênea. Com esse modelo, obtemos uma resposta de $$1.4$$ $$m/s$$.
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$L = lN^{1/3} \approx 3.2$$ $$m$$.
b) $$v=\dfrac{A}{2 \pi} \sqrt{\dfrac{g}{L}} \approx 1.1$$ $$m/s$$.
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Intermediário
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Ondulatória: Efeito Doppler
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) A resolução desse item (em geral, de situações de efeito doppler nos quais a fonte e/ou o observador estão acelerados) deve ser feita com muita cautela, e peço que o leitor preste muita atenção aos detalhes. Há DOIS efeitos a serem considerados: a aceleração da fonte e o tempo que o som emitido leva para chegar ao observador. É evidente que ocorrerá efeito doppler devido à velocidade relativa entre a fonte e o observador. Lembre-se que a equação do efeito doppler unidimensional é:
$$f=f_0\left(\dfrac{v_{som} \pm v_o}{v_{som} \pm v_f}\right)$$,
Sendo $$f$$ → frequência observada; $$f_0$$ → frequência emitida pela fonte; $$v_{som}$$ → velocidade do som; $$v_f$$ → velocidade da fonte; $$v_o$$ → velocidade do observador. Todas as velocidades são medidas em relação à terra e convencionamos o sentido positivo do observador para a fonte. É imprescindível ressaltar que, na equação acima, $$v_f$$ é a velocidade instantânea da fonte, no momento em que ela emitiu uma certa onda sonora. Desta forma, a situação física é a seguinte:
A fonte, inicialmente a uma distância $$h$$ da cabeça do observador, começa a se mover aceleradamente, e emite uma onda de frequência própria $$f_0$$ num instante $$t_1$$, instante no qual sua velocidade é $$gt_1$$. Essa onda sonora demora $$\Delta t$$ para chegar ao observador, percorrendo uma distância $$v_s \Delta t = h – \dfrac{1}{2}gt_1^2$$ (o último termo é a distância percorrida pela fonte até o tempo $$t_1$$). Sendo assim, a onda sonora emitida pela fonte em $$t_1$$ será percebida pelo observador apenas em $$t_1 + \Delta t = t$$, com frequência aparente $$f$$. Agora, nos resta equacionar esta situação. Haja vista que $$t_1=t-\Delta t$$:
$$v_s \Delta t = h- \dfrac{1}{2} g (t-\Delta t)^2$$.
Desenvolvendo, chegamos em uma equação quadrática para $$\Delta t$$:
$$\dfrac{1}{2}g \Delta t^2 + (v_s -gt) \Delta t + \left(\dfrac{1}{2}gt^2 – h\right)=0$$.
Cuja solução é
$$\Delta t = \dfrac{-(v_s-gt) \pm \sqrt{v_s^2 – 2v_sgt +2gh}}{g}$$,
de onde escolhemos a raiz com o sinal positivo, pois, caso contrário, $$\Delta t$$ seria negativo, o que é absurdo (lembre-se que $$v_s > gt$$).
Agora, vamos utilizar a fórmula do efeito doppler. Como já fora comentado, devemos usar a velocidade da fonte no instante em que o som foi emitido. No nosso caso, $$v_f = gt_1=g(t-\Delta t)$$. Substituindo o resultado anterior:
$$v_f = v_s – \sqrt{v_s^2 – 2v_sgt +2gh}$$.
Usamos, agora, a fórmula do efeito doppler para encontrarmos a frequência:
$$f=f_0\left(\dfrac{v_s \pm v_o}{v_s \pm v_f}\right)$$.
No nosso caso, $$v_o=0$$ e escolhemos o sinal negativo para $$v_f$$, pois a fonte vai de encontro ao observador. Por fim, substituindo $$v_f$$:
$$f=f_0\dfrac{v_s}{\sqrt{v_s^2-2v_sgt+2gh}}$$.
b) Para analisar o comportamento dos dados, é interessante que obtenhamos uma relação linear (indireta) entre $$f$$ e $$t$$: essa técnica se chama linearização de equações, e é extremamente útil, por exemplo, em física experimental. Veja que, invertendo a equação obtida em a) e elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos a relação a seguir:
$$\dfrac{1}{f^2}=\dfrac{1}{f_0^2}\left(1+\dfrac{2gh}{v_s^2}\right)-\dfrac{1}{f_0^2}\dfrac{2g}{v_s}t$$.
Ou seja, nossa teoria prevê que a relação entre $$\dfrac{1}{f^2}$$ e $$t$$ produz um gráfico linear decrescente. Para verificarmos se o experimento está consistente com nossa hipótese, plotemos o gráfico $$\dfrac{1}{f^2}$$ versus $$t$$ utilizando os dados da tabela:
Produzindo uma reta conforme esperávamos. Sendo essa relação do tipo $$y=ax+b$$, podemos descobrir os coeficientes $$a$$ e $$b$$ colocando os dados numa calculadora, por meio do modo de regressão linear:
$$a =1.75*10^{-7}$$ $$s$$
$$b = -3.31*10^{-6}$$ $$s^2$$.
Guardemos esses resultados.
c) Da expressão linearizada, decorre que:
$$a=-\dfrac{1}{f_0^2}\dfrac{2g}{v_s}$$
Substituindo os valores de $$a$$, $$g$$ e $$v_s$$, encontramos
$$f_0 = 574$$ $$Hz$$.
d) Da mesma forma, a expressão linearizada nos diz que:
$$b=\dfrac{1}{f_0^2}\left(1+\dfrac{2gh}{v_s^2}\right)=-\dfrac{2g}{av_s}\left(1+\dfrac{2gh}{v_s^2}\right)$$
Substituindo os valores numéricos:
$$h = 533$$ $$m$$.
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$f=f_0\dfrac{v_s}{\sqrt{v_s^2-2v_sgt+2gh}}$$.
b) Ver solução.
c) $$f_0 =574$$ $$Hz$$.
d) $$h = 533$$ $$m$$.
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Avançado
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Eletrodinâmica e Mecânica
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
O problema abre margem, basicamente, para duas formas de solução: conservação de energia ou torque. Usaremos a segunda, mas encorajo fortemente o leitor que tente também a primeira.
O primeiro passo é encontrar o campo magnético no interior do cilindro. Como o cilindro é muito longo, podemos considerar que o campo em seu interior é aquele gerado por um solenoide infinito:
$$B=\mu_0 n I$$,
sendo $$n$$ o número de voltas (espiras) por comprimento. No presente caso, há apenas $$1$$ grande espira de comprimento $$L$$, logo:
$$B=\dfrac{\mu_0 I}{L}$$.
À medida que o peso cai, o cilindro passa a girar mais rápido, e, portanto, a corrente $$I$$ sofre uma variação, o que, por sua vez, ocasiona uma variação do campo magnético $$B$$ e no fluxo magnético, gerando uma força eletromotriz induzida. Antes de tudo, calculemos a taxa de variação da corrente; quando o cilindro gira de $$\Delta \theta$$, a carga que passa é $$\Delta q = \sigma \Delta A = \sigma R L \Delta \theta$$ (área de um pequeno retângulo). Então, pela definição de corrente:
$$I=I(t)=\dfrac{\Delta q}{\Delta t}=\sigma R L \omega (t)$$ $$\therefore$$
$$\dfrac{dI}{dt}=\sigma R L \alpha$$.
Sendo $$\alpha$$ a aceleração angular do cilindro. Como a corrente está no sentido horário (ver figura), o campo magnético aponta para dentro da página. Então, pela Lei de Faraday-Lenz, haverá um campo elétrico induzido circunferencial ao cilindro, no sentido anti-horário. Devemos encontrar esse campo elétrico utilizando:
$$|\epsilon_{ind}|=\dfrac{d \phi}{dt}$$.
Ao longo de uma volta, a tensão induzida será:
$$E*2\pi R=\pi R^2 \dfrac{dB}{dt}$$,
$$2 \pi R E=\dfrac{\mu_0*\pi R^2}{L} \dfrac{dI}{dt}={\mu_0 \pi R^3 \sigma \alpha}$$,
$$E=\dfrac{\mu_0 \sigma R^2 \alpha}{2}$$.
Sendo assim, podemos agora relacionar as duas forças que provocam torque no cilindro (a tração do fio e a força elétrica) com a aceleração linear $$a$$ do cilindro (que há de ser a mesma do peso, para que não haja deslizamento). Utilizando a segunda lei de Newton para rotações:
$$\tau_{CM}=I_{CM} \alpha$$
Onde o subscrito $$CM$$ denota que tanto os torques quanto os momentos de inércia são calculados em relação ao centro de massa. Sendo $$T$$ a tração e $$Q=\sigma 2\pi R L$$ a carga total no cilindro, temos que
$$\left(T-QE\right)R={MR^2} \alpha$$,
onde usamos o momento de inércia para um cilindro delgado (o enunciado diz que o cilindro possui paredes finas). Inserindo a condição de não deslizamento $$a=\alpha R$$ e isolando $$T$$:
$$T=Ma+\mu_0 \pi \sigma^2 R^2 L a$$.
Por fim, através da segunda lei de Newton para o peso, determinamos sua aceleração:
$$mg-T=ma$$,
$$mg=ma+Ma+\mu_0 \pi \sigma^2 R^2 L a$$,
$$a=\dfrac{mg}{m+M+\mu_0 \pi \sigma^2 R^2 L}$$.
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$a=\dfrac{mg}{m+M+\mu_0 \pi \sigma^2 R^2 L}$$.
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