Escrito por Wanderson Faustino Patricio
Iniciante
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Termodinãmica[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Como existe uma diferença de temperatura entre a água e o ar fora do gelo ocorrerá transferência de calor entre esses meios, dado pela lei de Fourier:
$$\phi=\dfrac{dQ}{dt}=-\dfrac{kA\Delta T}{x}$$
Onde $$x$$ é a espessura do meio onde ocorre a transferência de calor, $$A$$ é a área do meio e $$\Delta T$$ é a diferença de temperatura (em $$K$$).
O calor que é transferido da água para o ambiente externo faz a água se solidificar.
Quando uma massa $$dm$$ de água passa do estado líquido para o sólido libera uma quantidade de calor:
$$dQ=dm\cdot L$$
juntando as duas equações, temos:
$$\dfrac{dQ}{dt}=\dfrac{dm\cdot L}{dt}=-\dfrac{kA\Delta T}{x}$$
$$dm=\rho dV=\rho A dx$$
$$\dfrac{\rho A dx\cdot L}{dt}=-\dfrac{kA\Delta T}{x}$$
$$\rightarrow \dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{k\Delta T}{\rho \cdot x\cdot L}$$
Para $$x=l=30cm$$:
$$\rightarrow \dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{5\cdot 10^{-3}\dfrac{cal}{s\cdot cm \cdot K}(-15-0)K}{1,00\dfrac{g}{cm^3} \cdot 30cm\cdot 80\dfrac{cal}{g}}\cdot \dfrac{3600 s}{h}$$
$$\rightarrow \dfrac{dx}{dt}=0,1125\dfrac{cm}{h}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\dfrac{dx}{dt}=0,1125\dfrac{cm}{h}$$
[/spoiler]
Intermediário
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Ótica Física/ diferença de caminho ótico[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Inicialmente percebamos que ambos os raios ao saírem estarão em fase.
O raio que reflete no primeiro espelho está em inversão de fase com o raio original. O raio que passa para o segundo espelho e reflete também estará em inversão de fase com o raio original. Portanto, os raios sairão em fase.
Agora basta calcularmos a diferença de caminho entre os dois raios.
Percebemos pela imagem que a diferença de caminho entre os raios é: $$\delta r=2r_1-r_2$$.
Seja $$d$$ a distância entre os espelhos.
$$\cos{\theta}=\dfrac{d}{r_1} \rightarrow r_1=\dfrac{d}{\cos{\theta}}$$
Para $$r_2$$:
$$\tan{\theta}=\dfrac{x}{d} \rightarrow x=d\tan{\theta}$$
$$\sin{\theta}=\dfrac{r_2}{2x} \rightarrow r_2=2\cdot d\tan{\theta} \sin{\theta}=\dfrac{2d\sin^2{\theta}}{\cos{\theta}}$$
$$\rightarrow \delta r=2\dfrac{d}{\cos{\theta}}-\dfrac{2d\sin^2{\theta}}{\cos{\theta}}$$
$$\delta r=\dfrac{2d(1-\sin^2{\theta})}{\cos{\theta}}$$
$$\rightarrow \delta r=2d\cos{\theta}$$
Como os raios saem em fase a diferença de caminho entre os raios deve ser múltiplo do comprimento de onda. Sejam as distâncias entre os espelhos para dois máximos consecutivos $$d_1$$ e $$d_2$$.
$$\begin{cases} 2d_1\cos{\theta}=m\lambda \\ 2d_2\cos{\theta}=(m+1)\lambda \end{cases}$$
$$\rightarrow d_2-d_1=\Delta d=\dfrac{\lambda}{2\cos{\theta}}$$
Como o espelho de cima tem velocidade constante $$v$$:
$$v=\dfrac{\Delta d}{T}$$
$$T=\dfrac{\lambda}{2v\cos{\theta}}$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$T=\dfrac{\lambda}{2v\cos{\theta}}$$
[/spoiler]
Avançado
[spoiler title=’Assuntado abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Conservação de energia e resultante centrípeta[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$a)$$ Considere que após o objeto descer uma distância $$y$$ no plano ele possua velocidade em $$x$$ de módulo $$v_x$$, e em $$y$$ de módulo $$v_y$$. Como a massa está descendo o plano em direção ao sentido positivo do eixo $$x$$, temos que: $$v_x=\dot x$$ e $$v_y=-\dot y$$.
Diferenciando a relação entre os eixos:
$$y=-kx^n \rightarrow \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\dfrac{dx}{dt} \rightarrow \dot y=(-k\cdot n\cdot x^{n-1})\dot x$$
$$\rightarrow v_y=(k\cdot n\cdot x^{n-1})v_x$$
Coonservando a energia mecânica no sistema:
$$-mgy=\dfrac{mv^2}{2}$$
$$v^2=2g(kx^n)$$
Analisando as forças no sistema:
Olhando para a resultante centrípeta das forças:
$$mg\cos{\theta}-N=\dfrac{mv^2}{R}$$
Temos as seguintes relações:
$$I)$$
$$\tan{\theta}=\dfrac{v_y}{v_x}=knx^{n-1}=\dfrac{\sqrt{1-\cos^2{\theta}}}{\cos{\theta}}$$
$$\rightarrow \cos{\theta}=\dfrac{1}{\sqrt{1+k^2n^2x^{2n-2}}}$$
$$II)$$
$$R=\dfrac{\left[1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2\right]^{\dfrac{3}{2}}}{\left|\dfrac{d^2y}{dx^2}\right|}$$
$$\rightarrow R=\dfrac{\left[1+\left(-knx^{n-1}\right)^2\right]^{\dfrac{3}{2}}}{\left|-kn(n-1)x^{n-2}\right|}$$
Para o momento de perda de contato a normal é zero:
$$mg\cos{\theta}=\dfrac{mv^2}{R} \rightarrow gR\cos{\theta}=v^2$$
$$g\cdot \dfrac{\left[1+\left(-knx^{n-1}\right)^2\right]^{\dfrac{3}{2}}}{\left|-kn(n-1)x^{n-2}\right|}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+k^2n^2x^{2n-2}}}= 2g(kx^n)$$
$$\rightarrow (1+k^2n^2x^{2n-2})=2kx^n\cdot kn(n-1)x^{n-2}=2k^2n(n-1)x^{2n-2}$$
$$k^2n(n-2)x^{2n-2}=1$$
$$\rightarrow x=\left[k^2n(n-2)\right]^{\frac{1}{2-2n}}$$
$$b)$$ Voltando para a penúltma equação do item $$a)$$, vemos que para que ocorra a perda de contato é necessário que: $$k^2n(n-2)x^{2n-2}=1$$.
Para que não occorra perda de contato essa equação nunca pode ser válida, inclusive para os valores de $$x$$ tendendo ao infinito. Logo:
$$n\leq 0$$ ou $$n-2\leq 0 \rightarrow n\leq 2$$
Como $$n$$ é “não-negativo”, ele só pode ser: $$0$$, $$1$$ ou $$2$$.
$$\rightarrow n\in \{0;1;2\}$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$a) x=\left[k^2n(n-2)\right]^{\frac{1}{2-2n}}$$
$$b) n\in \{0;1;2\}$$
[/spoiler]