Soluções Física – Semana 129

Dinâmica: movimento com atrito

a) Pela segunda lei de Newton:

$$a{\gamma}=g\sin{\alpha}-{\mu}g\cos{\alpha}\cos{\chi}$$

e

$$a_{\theta}=g\sin{\alpha}\cos{\chi}-{\mu}g\cos{\alpha}$$

b)

No instante $t_0$, $a_{gamma}=a_{theta}=0$. Logo:

$$a{\gamma}=g\sin{\alpha}-{\mu}g\cos{\alpha}\cos{\chi}=0$$

e

$$a_{\theta}=g\sin{\alpha}\cos{\chi}-{\mu}g\cos{\alpha}=0$$

c)

Resolvendo o sistema, chegamos em:

$$\mu=\tan{\alpha}$$

e

$$\cos{\chi_0}=1$$

d)

Com os valores descobertos no item passado, o item a se torna:

$$a{\gamma}=g\sin{\alpha}-\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}g\cos{\alpha}\cos{\chi}$$

e

$$a_{\theta}=g\sin{\alpha}\cos{\chi}-\dfrac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}g\cos{\alpha}$$

Dai:

$$a_{\theta}+a_{\gamma}=0$$

e)

Como $a_{\theta}+a_{\gamma}=0$, temos:

$$v(t+\delta{t})+v_{\gamma}(t+\delta{t})=v(t)+v_{\gamma}(t)$$

Aplicando a fórmula acima sucessivamente:

$$v(t+\delta{t})+v_{\gamma}(t+\delta{t})=v(t)+v_{\gamma}(t)=v(t+2\delta{t})+v_{\gamma}(t+2\delta{t})=v(t+3\delta{t})+v_{\gamma}(t+3\delta{t})=...=v(t+N\delta{t})+v_{\gamma}(t+N\delta{t})=v(t+\Delta{t})+v_{\gamma}(t+\Delta{t})$$

Escolhendo $t=t_1$ e $\Delta{t}=t_2-t_1$, chega-se no resultado esperado.

f)

Podemos usar a relação do item passado e aplicá-la entre entre os instantes inicial e final. No lançamento, $v=v_0$ e $v_{\gamma}=0$, por outro lado, quando a partícula atinge a velocidade terminal: $v=v_T$ e $v_{\gamma}=v_T$, pois $\chi_0=0$. Dai:

$$v_0=2v_T\to{\boxed{v_T=\dfrac{v_0}{2}}}$$

a)

$$a{\gamma}=g\sin{\alpha}-{\mu}g\cos{\alpha}\cos{\chi}$$

e

$$a_{\theta}=g\sin{\alpha}\cos{\chi}-{\mu}g\cos{\alpha}$$

b)

$$a{\gamma}=g\sin{\alpha}-{\mu}g\cos{\alpha}\cos{\chi}=0$$

e

$$a_{\theta}=g\sin{\alpha}\cos{\chi}-{\mu}g\cos{\alpha}=0$$

c)

$$\mu=\tan{\alpha}$$

e

$$\cos{\chi_0}=1$$

f)

$$v_0=2v_T\to{\boxed{v_T=\dfrac{v_0}{2}}}$$

Conservação de momento angular

Observe que a forma aparentemente complicada do coeficiente de atrito é irrelevante: ao escolhermos um sistema de eixos na superfície, o torque resultante é nulo, visto que a força de atrito é a força resultante atuando na esfera e esta não gera torque, além disso, essa análise independe do coeficiente de atrito. O momento angular inicial é dado por $L=mv_0R$, onde $m$ é a massa da esfera e $R$ o raio. Quando a esfera não desliza, o momento angular será dado por: $L=m{\omega}R^2+\dfrac{2}{5}mR^2\omega=\dfrac{7}{5}m{\omega}R^2$. As duas expressões nos dão a velocidade terminal $v={\omega}R$:

$$\dfrac{7}{5}m{\omega}R^2=mv_0R\to{\boxed{v=\dfrac{5}{7}v_0}}$$

Onde foi usado que o momento de inércia de uma esfera homogênea com relação a um eixo passando pelo centro é $\dfrac{2}{5}mR^2$.

$$\dfrac{7}{5}m{\omega}R^2=mv_0R\to{\boxed{v=\dfrac{5}{7}v_0}}$$

Dinâmica com atrito: um método analítico

a)

Observe que para $F(x)$ é a força elástica, a força de atrito não consegue equilibrar a força restauradora e o movimento acontece. Caso o contrário acontecer, isto é, $|F(x)|\le{{\mu}_emg}$, a força de atrito equilibra a força elástica e o movimento cessa. Portanto, para $\dot{x}=0$:

$f={\mu}_emg$          Para $f=-{\mu}_emg$          Para $x<-\lambda_e$

$f=m{\omega}^2x$          Para $|x|\le{\lambda_e}$

b)

Um caso será mostrado aqui e os outros, totalmente análogos, não serão resolvidos aqui. Por exemplo, para $v_0>0$ e $x_0<0$, devemos ter etapas pares com $f=-{\mu}_cmg$ e para etapas ímpares $f={\mu}_cmg$, o que concorda com a expressão dada no enunciado, pois nesse caso, $f_0=-1$ e $\cos{n\pi}$ é 1 para etapas pares e -1 para etapas ímpares. Observe que todos os casos em que $x_0\ne{0}$ são análogos e só dependem do sinal da velocidade inicial. Analisemos agora o caso em que $v_0=0$. Nesse caso, $f_0=\Delta(x_0)$. Se $x_0>0$ (estando fora da zona de parada), a mola puxa o oscilador para a origem, consequentemente devemos ter $f>0$ para etapas pares e $f<0$ para etapas ímpares, o que concorda com a expressão do enunciado com $\Delta(x_0)=1$, nesse caso.

c)

A solução geral é dada pela solução geral da equação diferencial homogênea ($f_n=0$) somada com alguma solução particular. Logo, podemos escrever:

$x_n(t)=a_n\cos{{\omega}t}+b_n\sin{{\omega}t}+A_n$

Onde $A_n$ é uma solução particular. Claramente, a quantidade $A_n=f_0{\lambda}_c\cos{n\pi}$ é solução da equação diferencial. Com isso, chegamos na solução geral dado no enunciado.

d)

Sabemos que para $n>0$, as velocidades $\dot{x}(t_n)=\dot{x}(t_{n+1})=0$. Evidentemente, podemos usar a expressão para $x_n$ para computar essas velocidades: apesar delas serão obtidas por uma equação de movimento válida somente entre os pontos de parada, a continuidade da velocidade e posição nos permitem escrever que: $\dot{x}(t_n)=v(t_n)$, onde $v(t_n)$ é a velocidade do oscilador em $t_n$ e $\dot{x}(t_n)$ é a primeira derivada de $x_n$ em $t_n$. Derivando $x_n$ em relação ao tempo e aplicando $t=t_n$ e $t=t_{n+1}$, ficamos com:

$$\tan{{\omega}t_n}=\tan{{\omega}t_{n+1}}=\dfrac{b_n}{a_n}$$

Como o período da função tangente é $\pi$, juntamente com a imposição $t_{n+1}>t{n}$, segue que:

$$t_{n+1}=t_n+\dfrac{\pi}{\omega}$$

Por outro lado:

$$t_1=\dfrac{1}{\omega}\arctan{\dfrac{a_0}{b_0}}$$

e)

Podemos resolver facilmente para $t_n$ percebendo que a relação de recursão que o define é uma P.A. de razão $\dfrac{\pi}{\omega}$. Portanto:

$$t_n=t_1+(n-1)\dfrac{\pi}{\omega}$$

Para descobrirmos as outras constantes, podemos usar a continuidade na posição e velocidade, isto é:

$$x_n(t_n)=x_{n-1}(t_n)$$

e

$$\dot{x_n}(t_n)=\dot{x_{n-1}}(t_n)$$

As operações acima nos dão, após alguma conta:

$$a_n=a_{n-1}+2f_0\lambda_c\cos{{\omega}t_1}$$

e

$$b_n=b_{n-1}+2f_0\lambda_c\cos{{\omega}t_1}$$

Que também é uma P.A. Logo:

$$a_n=a_{0}+2nf_0\lambda_c\cos{{\omega}t_1}$$

e

$$b_n=b_{0}+2nf_0\lambda_c\cos{{\omega}t_1}$$

f)

Usemos: $x_0(0)=x_0$ e $\dot{x_0}(0)=v_0$. Isso gera o seguinte resultado:

$$a_0=x_0-f_0\lambda_c$$

e

$$b_0=\dfrac{v_0}{\omega}$$

g)

A equação requerida é obtida impondo: $|x_{n_0}(t_{n_0})|\le{\lambda\_e}$. Utilizando as equações para $a_n$, $b_n$ e $t_n$, chega-se no resultado requerido.

h)

Multiplicando a expressão anterior por $|\dfrac{f_0}{{\lambda}_c}|=\dfrac{1}{\lambda_c}$, chegamos em duas desigualdades para $n_0$:

$$n_0\ge{\dfrac{{\lambda}_c-\lambda_e-f_0\left(a_0\cos{{\omega}t_1}+b_0\sin{{\omega}t_1}\right)}{2{\lambda}_c}}$$

e

$$n_0\le{\dfrac{{\lambda}_c+\lambda_e-f_0\left(a_0\cos{{\omega}t_1}+b_0\sin{{\omega}t_1}\right)}{2{\lambda}_c}}$$

Dessas duas expressões, apenas a primeira guarda realidade física com o fenômeno estudado. O menor valor que satisfaz a condição de parada é, portanto:

$$n_0=\lceil \dfrac{{\lambda}_c-\lambda_e-f_0\left(a_0\cos{{\omega}t_1}+b_0\sin{{\omega}t_1}\right)}{2{\lambda}_c} \rceil$$

a)

$f={\mu}_emg$          Para $x>\lambda_e$

$f=-{\mu}_emg$          Para $x<-\lambda_e$

$f=m{\omega}^2x$          Para $|x|\le{\lambda_e}$

d)

$$t_{n+1}=t_n+\dfrac{\pi}{\omega}$$

Por outro lado:

$$t_1=\dfrac{1}{\omega}\arctan{\dfrac{a_0}{b_0}}$$

e)

$$a_n=a_{0}+2nf_0\lambda_c\cos{{\omega}t_1}$$

e

$$b_n=b_{0}+2nf_0\lambda_c\cos{{\omega}t_1}$$

f)

$$a_0=x_0-f_0\lambda_c$$

e

$$b_0=\dfrac{v_0}{\omega}$$