Iniciante (Solução por João Guilherme Araújo)
Inicialmente, calculemos quanto tempo gastará o trem II para II para ultrapassar totalmente o ponto B:
Toricelli:$$ V_2 ^2 = V_{02}^ 2 + 2\alpha\Delta S_2 \Rightarrow V_2 = 18 m$$
Substituindo os valores dados na questão:
$$V_2^2 = 0^2 + 2 \cdot 0,2 \cdot 810 = 324 s$$
Disso podemos achar o tempo através da equação horária do MUV:
$$ V_2 = V{02} + \alpha t \Rightarrow 18 = 0.2 t \Rightarrow t = 18/0,2 = 90s$$
Calculamos agora quanto o trem I demorará para iniciar a passagem pelo ponto B
dados
Função horária do espaço de I em MU:
$$S_1 = S_{01} + V_1t_1 \Rightarrow \Delta S = V_{1}t_{1} \Rightarrow t_1 = 3000/15 = 200s$$
Agora sabemos que I demorará 200s para alcançar o ponto B
Mas queremos que o trem I so alcance B após 10s da passagem do trem 2 por B, e como 2 demora 90s para isso, devemos considerar $$t_2 = 100s.$$
$$t_1 – t_2 = 200 – 100 = 100s $$
Intermediário (Solução por Victor Sales)
$$i)$$ Adote eixos coordenados perpendiculares dextrógeno, com o eixo $$y$$ oposto à gravidade, temos, então, chamando a velocidade inical de $$V_0$$:
$$! \vec{x} = v_0 \cos{\alpha} t \hat{x}$$
$$! \vec{y} = (v_0 \sin{\alpha} t – \frac12 g t^2) \hat{y}$$
$$! \vec{r} = \vec{x} + \vec{y}$$
$$ii)$$ A condição pedida, é que a velocidade seja perpendicular ao vetor posição. Logo:
$$! \vec{r} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow \vec{r} \cdot \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = 0$$
$$! \Rightarrow \frac{\mathrm{d}(\vec{r} \cdot \vec{r})}{\mathrm{d}t} = 0 \Rightarrow \frac{\mathrm{d}|r|^2}{\mathrm{d}t} = 0$$
$$! \Rightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(v_0^2 t^2 – v_0 \sin{\alpha} \, g t^3 + \frac14 g^2 t^2) = 0 \Rightarrow 2 v_0^2 t – 3 v_0 \sin{\alpha} \, g t^2 + g^2 t^3 = 0$$
$$! \Rightarrow g^2 t^2 – 3 v_0 g \sin{\alpha} \, t + 2 v_0^2 = 0$$
Para existir momentos desses, basta que $$\Delta \geq 0$$
$$! \Rightarrow 9 v_0^2 g^2 \sin^2{\alpha} – 8 v_0^2 g^2 \geq 0$$
$$! \Rightarrow 9 \sin^2{\alpha} \geq 8 \Rightarrow 9 \cos^2{\alpha} \leq 1$$
$$! \Rightarrow \cos{\alpha} \leq \frac13 \Rightarrow \sec{\alpha} \geq 3$$
Avançado (Solução por Victor Sales)
$$i)$$Temos, em um certo instante de tempo $$t$$, pela lei de Faraday:
$$!L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = B l \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$$
Como em $$t = 0, x = 0 \Rightarrow L i = B l x$$ ou
$$!i = \frac{B l}{L} x$$
$$ii)$$ Aplicando a segunda lei de Newton para o suporte, obtemos:
$$! – i l B = m \ddot{x}$$
Usando $$(i)$$: $$!\ddot{x} = – \frac{l^2 B^2}{m L} x$$
Logo, o movimento resultante é um MHS com frequência angular $$\omega = \frac{l B}{\sqrt{m L}}$$
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