Iniciante (Solução por João Guilherme Araújo)
Temos que a barca andou: $$\Delta s_c = v_c \cdot (60 + t) = 6 km$$
Enquanto o barco andou na ida $$\Delta s = (v_b + v_c) \cdot 60$$
E na volta: $$\Delta s_b = (v_b – v_c) \cdot t$$
Mas sabemos que o espaço que o barco andou na ida é igual ao que ele andou na volta mais o que a barca andou:
$$!60v_c + v_ct + v_bt – v_ct = 60v_b + 60v_c \Longrightarrow t = 60 \quad min$$
Dessa forma:
$$!v_c = \frac{6}{60 + 60} = 0.05 \frac{km}{h}$$
Intermediário (Solução por Victor Sales)
$$i)$$ Como sua velocidade varia linearmente, ela pode ser expressa por
$$! v = \frac{y-d}{h-d} v_0$$
Onde $$y$$ é o deslocamento vertical e $$v_0 = \sqrt{2 g (H-h)}$$ é a velocidade necessária para que a cabeça atinja uma altura $$H$$.
$$ii)$$ Com isso:
$$! p = m v \Rightarrow \mathrm{d}p = m \, \mathrm{d}v = m \frac{v_0}{h-d} \, \mathrm{d}y$$
$$! \Rightarrow F = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = m \frac{v_0}{h-d} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = m \frac{v_0}{h-d} v$$
Onde $$F$$ é a força extra que a pessoa precisa exercer no chão para realizar seu pulo da forma desejada e é também o que queremos. Logo:
$$! F_{max} = m \frac{v_0}{h-d} v_{max} = \frac{m v_0^2}{h-d}$$
$$! \Rightarrow F_{max} = 2 m g \frac{H-d}{h-d}$$
Avançado (Solução por Victor Sales)
$$i)$$ A primeira coisa a ser notada é que a altura em ambos os vazos, após a colocação do cilindro, será a mesma. Pois, caso contrário, calculando a pressão a uma mesma altura no líquido, encontraríamos valores diferentes nos dois vazos, o que seria um absurdo. A situação, então, será como na imagem:
$$ii)$$ Como o cilindro está em equilíbrio, a massa do cilindro deve ser igual à massa de líquido deslocado, que corresponde aos volumes $$V_1$$ e $$V_2$$ na figura. Então:
$$! \rho_m h S’ = \rho_l (V_1 + V_2)$$
$$! \Rightarrow \rho_m V = \rho_l ( h(S – S”) + h S’)$$
$$! \Rightarrow h = \frac{\rho_m V}{\rho_l(S + S’ – S”)}$$
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