Escrito por Matheus Felipe R. Borges
Iniciante
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Gravitação
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Primeiramente calcularemos a velocidade de escape de um planeta. Para escapar de um planeta precisamos ter energia suficiente para, partindo da superfície do planeta, chegar a uma distância muito grande com velocidade nula.
$$E=\dfrac{mv_e^2}{2}-\dfrac{GM}{R}=0$$
$$v_e=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$$
Como consideramos o planeta esférico a massa em função da densidade e raio é
$$M=\rho{\dfrac{4{\pi}R^3}{3}}$$
$$v_e=\sqrt{\dfrac{{8{\pi}{\rho}GR^2}}{3}}$$
O campo gravitacional na superfície pode ser calculado por
$$g=\dfrac{{4{\pi}{\rho}GR}}{3}$$
Então o raio do planeta é
$$R=\dfrac{3g}{{4{\pi}{\rho}G}}$$
Substituindo na velocidade de escape
$$v_e=\sqrt{\dfrac{{3g^2}}{2{\pi}{\rho}G}}$$
Agora podemos comparar as informações do planeta X com a terra
$$v_{e,X}=\sqrt{\dfrac{{3g_X^2}}{2{\pi}{\rho_X}G}}$$
$$v_{e,X}=\sqrt{\dfrac{{3g_T^2}}{2{\pi}{\rho_T}G}\dfrac{(\sqrt{6}/11)^2}{2/3}}$$
$$v_{e,X}=\dfrac{3}{11}\sqrt{\dfrac{{3g_T^2}}{2{\pi}{\rho_T}G}}$$
$$v_{e,X}=\dfrac{3}{11}v_{e,T}$$
$$v_{e,X}=3\,km/s$$
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$v_{e,X}=3\,km/s$$
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Intermediário
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Mecânica
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Primeiramente analisaremos uma vista superior ao plano. É importante notar que há uma componente da força peso $$mg\sin\alpha$$ que sempre aponta na mesma direção (mostrada na figura como vertical) e o atrito é tal que a partícula fique sempre em equilíbrio. O módulo da força de atrito é o mesmo da componente do peso
$$f=mg\sin\alpha=mg\mu\cos\alpha$$
Ou seja, para a partícula ficar em equilíbrio o fio deve ser a bissetriz entre a força peso e o atrito.
Figura 1: Diagrama de forças na partícula.
Uma vez que conhecemos a direção do atrito sabemos consequentemente a direção da velocidade, pois o atrito cinético sempre é antiparalelo à velocidade.
Figura 2: Velocidade da partícula.
Podemos então decompor a velocidade em duas componentes, paralela ao fio e perpendicular
$$v\sin\alpha=r\dfrac{d\alpha}{dt}$$
$$v\cos\alpha=\dfrac{dr}{dt}$$
Dividindo as duas equações
$$\tan\alpha=r\dfrac{d\alpha}{dt}\dfrac{dt}{dr}$$
$$\tan\alpha=r\dfrac{d\alpha}{dr}$$
$$\dfrac{dr}{r}-\dfrac{\cos\alpha{d\alpha}}{\sin\alpha}=0$$
$$\dfrac{dr}{r}-\dfrac{d({\sin\alpha})}{\sin\alpha}=0$$
Então chegamos à seguinte lei de conservação
$$d(r/\sin\alpha)=0$$
$$r/\sin{\alpha}=const=r_0$$
$$r=r_0\sin{\alpha}$$
Podemos representar isso como um triângulo retângulo com hipotenusa $$r_0$$, ou seja a trajetória da partícula será uma circunfârencia de diâmetro $$r_0$$.
Figura 3: Trajetória da partícula.
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Circunferência
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Avançado
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Mecânica
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Considere que $$r_0$$ é raio a uma altura $$z_0$$ e o ângulo feito pela bacia nessa altura com a horizontal é $$\theta$$.
Duas forças agem na partícula: normal e peso. Se a partícula se movimenta em um círculo na horizontal, as forças verticais se cancelam e a componente horizontal da normal atua como força centrípeta.
$$N\sin\theta=\dfrac{mv_h^2}{r_0}$$, $$N\cos\theta=mg$$
Combinando as equações
$$\tan\theta=\dfrac{v_h^2}{gr_0}$$
A inclinação da bacia pode ser calculada como
$$\tan\theta=\dfrac{dz}{dr}=2kr_0$$
$$2kr_0=\dfrac{v_h^2}{gr_0}$$
Usando a equação da bacia $$z_0=kr^2$$ encontramos
$$v_h=\sqrt{2gz_0}$$
b) Considere que a altura máxima é $$z$$ e o raio e velocidade nessa altura são, respectivamente, $$r$$ e $$v$$. Pela conservação da energia
$$\dfrac{mv_0^2}{2}+mgz_0=\dfrac{mv^2}{2}+mgz$$
As duas forças que atuam na partícula nunca exercem torque na direção $$z$$, então a componente em $$z$$ do momento angular é conservada. Além disso, as velocidades final e inicial são perpendiculares ao eixo $$z$$
$$mv_0r_0=mvr$$
$$v=v_0\dfrac{r_0}{r}$$
Usando a equação da bacia
$$v=v_0\sqrt{\dfrac{z_0}{z}}$$
Substituindo na equação da energia, encontramos a seguinte equação em $$z$$
$$z^2-\left(\dfrac{v_0^2}{2g}+z_0\right)z+\dfrac{v_0^2}{2g}z_0=$$
A solução da equação é
$$z=\dfrac{v_0^2}{2g}$$
c)
i) Para determinar o período faremos uma analise da energia mecanica
$$E=\dfrac{mv^2}{2}+mgz$$
A velocidade é dada por
$$v^2=\left(\dfrac{dr}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dz}{dt}\right)^2$$
com $$z$$ é pequeno
$$\dfrac{dr}{dt}\gg\dfrac{dz}{dt}$$
concluímos que
$$E=\dfrac{m}{2}\left(\dfrac{dr}{dt}\right)^2+mgkr^2$$
Que é uma expressão analoga à energia de um massa mola, ou seja, concluímos que o período é
$$T=\dfrac{2\pi}{\sqrt{2kg}}$$
ii) O período é maior que o harmônico. Ao calcular a energia no caso harmônico não consideramos o termo $$\frac{dz}{dt}$$ na energia, ou seja achamos um valor maior para $$\frac{dr}{dt}$$, então a partícula demora mais para atingir a origem.
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$v_h=\sqrt{2gz_0}$$
b) $$z=\dfrac{v_0^2}{2g}$$
c) i) $$T=\dfrac{2\pi}{\sqrt{2kg}}$$
ii) É maior.
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