Escrito por Matheus Borges
Iniciante
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Cinemática
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) A velocidade média do corpo é calculada por
$$v_m=\dfrac{s(t’+\Delta{t})-s(t’)}{\Delta{t}}=\dfrac{a(t’+\Delta{t})^3-a(t’)^3}{\Delta{t}}$$
$$v_m=\dfrac{a(t’^3+3t’^2{\Delta{t}}+3t'{\Delta{t}}^2+{\Delta{t}}^3)-at’^3}{\Delta{t}}$$
$$v_m=\dfrac{a(3t’^2{\Delta{t}}+3t'{\Delta{t}}^2+{\Delta{t}}^3)}{\Delta{t}}$$
$$\boxed{v_m=a(3t’^2+3t'{\Delta{t}}+{\Delta{t}}^2)}$$
b) No caso onde $$\Delta{t}\cong0$$ é muito pequeno a velocidade média representa a velocidade instantânea no instante $$t’$$
$$\boxed{v(t’)=3at’^2}$$
c) Podemos encontrar a aceleração em um dado instante com um processo análogo aos itens a) e b), encontrando a aceleração média em um dado $$\Delta{t}$$ e fazendo $$\Delta{t}\cong0$$.
$$a_m=\dfrac{v(t’+\Delta{t})-v(t’)}{\Delta{t}}=\dfrac{3a(t’+\Delta{t})^2-3a(t’)^2}{\Delta{t}}$$
$$a_m=\dfrac{3a(t’^2+2t’\Delta{t}+\Delta{t}^2)-3at’^2}{\Delta{t}}$$
$$a_m=6at’+3a{\Delta{t}}$$
Portanto, a aceleração instantânea é
$$\boxed{a=6at’}$$
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$v_m=a(3t’^2+3t'{\Delta{t}}+{\Delta{t}}^2)$$
b) $$v(t’)=3at’^2$$
c) $$a=6at’$$
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Intermediário
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Cinemática
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Uma característica importante do lançamento é que a única força que atua na partícula é o peso, ou seja, a aceleração sempre é a aceleração de queda livre ($$g$$), portanto para encontrar as componentes tangencial e centrípeta basta decompor a aceleração total ($$g$$).
Figura 1: Lançamento.
Considere que em um dado instante a velociade forma um ângulo $$\alpha$$ com a horizontal, então
$$a_{cp}=g\cos\alpha$$ $$a_t=g\cos\alpha$$
Para encontrar o ângulo $$\alpha$$ podemos usar a velocidade, pois
$$\tan\alpha=\dfrac{v_y}{v_x}$$
A velocidade horizontal é constante e a vertical varia linearmente com o tempo
$$\tan\alpha=\dfrac{v_0\sin\theta-gt}{v_0\cos\theta}$$
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$a_{cp}=g\cos\alpha$$ $$a_t=g\cos\alpha$$
$$\alpha=\arctan\left(\dfrac{v_0\sin\theta-gt}{v_0\cos\theta}\right)$$
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Avançado
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Gravitação/campo gravitacional
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Podemos imaginar o hemisfério como um conjunto de cascas esféricas, bem finas, de diferentes raios. Considerando uma casca de raio $$x$$ e densidade superficial $$\sigma$$, calcularemos a força entre o tardígrado (de massa m) e essa casca.
Figura 2: Casca e tartígrado.
Por simetria a forçá tem a direção do eixo vertical, logo
$$dF=(g\cos{\theta})dM=(g\cos{\theta})\sigma{dA}$$
Onde $$dA$$ é um elemento de área e $$g$$ o campo gerado pelo tardígrado
$$g=\dfrac{Gm}{x^2}$$
$$dF=\dfrac{Gm\sigma}{x^2}\sigma{dA}\cos{\theta}$$
O termo $${dA}\cos{\theta}=dA_{proj}$$ é a área projetada da casca.
$$dF=\dfrac{Gm\sigma}{x^2}dA_{proj}$$
Portanto a força resultante é
$$F=\dfrac{Gm\sigma}{x^2}A_{proj}=\dfrac{Gm\sigma}{x^2}(\pi{x^2})$$
$$F=Gm\sigma\pi$$
Essa força é só uma parte da força total, pois ainda temos que somar as varias contribuições das cascas. Dado que as cascas são finas, com espessura $$dx$$, $$\sigma=\rho{dx}$$, onde $$\rho$$ é a densidade volumétrica do hemisfério.
$$dF=Gm\pi\rho{dx}$$
Então a força total é
$$F=Gm\pi\rho{R}$$
Portanto o campo gravitacional é
$$g=\dfrac{F}{m}=G\pi\rho{R}$$
O campo original da terra é calculado por
$$g_0=\dfrac{4{\pi}G\rho{R}}{3}$$
Portanto
$$g=\dfrac{3g_0}{4}$$
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$$g=\dfrac{3g_0}{4}$$
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