Escrito por Rafael Ribeiro
Iniciante
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Termodinâmica
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Considerando o caso de mínima temperatura inicial do gelo, ao final do processo toda a água se encontrará no estado sólido e na temperatura $$T_{f} = 0^{\circ}C $$. Logo, as variações de calor do sistema são o aquecimento do $$0,5 \ kg$$ gelo e o congelamento do $$1 \ L$$ (correspondente a $$1 \ kg$$) de água, e a soma dessas duas quantidades deve ser nula de modo a conservarmos a energia do sistema. Assim:
$$m_{g}c_{g}\Delta T_{g} – m_{a}L_{f} = 0$$
$$0,5 \cdot 2,1 \cdot 10^{3} (0 – T_{0}) = 1 \cdot 330 \cdot 10^{3}$$
$$T_{0} = – \dfrac{660}{2,1} ^{\circ}C$$
$$\boxed{T_{0} = – 314 ^{\circ}C}$$
Com isso, vemos que é impossível resfriar toda essa quantidade de água com essa massa de gelo, uma vez que a temperatura inicial obtida é menor do que o zero absoluto.
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$$\boxed{T_{0} = – 314 ^{\circ}C}$$
Note que, por ser um valor menor que o zero absoluto ($$-273,15 ^{\circ}C$$), não existe uma temperatura baixa o suficiente de modo a poder congelar toda a água do problema.
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Intermediário
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Termodinâmica
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Para que essa quantidade de calor seja mínima, devemos impor a condição de processo isentrópico, uma vez que este sempre apresenta o maior rendimento. Calculemos a variação de entropia da casa, do ambiente externo e da lareira, respectivamente:
$$\Delta S_{C} = \dfrac{\Delta Q}{T_{C}}$$
$$\Delta S_{Q} = \dfrac{- \Delta Q’}{T_{Q}}$$
$$\Delta S_{F} = \dfrac{\Delta Q’ – \Delta Q}{T_{F}}$$
Somando essas três quantidades, obtemos a variação de entropia total $$\Delta S$$:
$$\Delta S = \dfrac{\Delta Q}{T_{C}} – \dfrac{\Delta Q’}{T_{Q}} + \dfrac{\Delta Q’ – \Delta Q}{T_{F}} = 0$$
$$- \Delta Q’ T_{C}(T_{F} – T_{Q}) = \Delta Q T_{Q}(T_{C} – T_{F})$$
$$\Delta Q’ = \dfrac{T_{Q}}{T_{C}} \dfrac{T_{C} – T_{F}}{T_{Q} – T_{F}} \Delta Q$$
$$\Delta Q’ = \dfrac{600}{278} \dfrac{15}{337} \Delta Q$$
Logo:
$$\boxed{\Delta Q’ = 0,096 \Delta Q}$$
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$$\boxed{\Delta Q’ = 0,096 \Delta Q}$$
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Avançado
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Ciclos termodinâmicos
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Para calcular o rendimento, precisamos de duas informações: o trabalho realizado ($$W$$) e o calor recebido pelo gás ($$Q_{h}$$). A primeira dessas quantidades é fácil de se obter, uma vez que ela corresponde à área do gráfico $$PxV$$ do ciclo. Assim, obtemos que o trabalho do ciclo é dado por:
$$W = \dfrac{1}{2}P_{0}V_{0}$$
Já o calor recebido é um pouco mais difícil de calcular, e teremos de considerar cada etapa separadamente. Na compressão isobárica, representada pela aresta mais abaixo, o calor cedido ao gás é dado por:
$$Q_{P} = nC_{P}\Delta T = \dfrac{5}{2} nR \Delta T = \dfrac{5}{2} P_{0} \Delta V$$
$$Q_{P} = -\dfrac{5}{2}P_{0}V_{0} < 0$$
Como essa quantidade é negativa, essa etapa corresponde a uma perda de calor e não será considerada no cálculo de $$Q_{h}$$. Já na etapa isovolumétrica:
$$Q_{V} = nC_{V}\Delta T = \dfrac{3}{2}nR\Delta T = \dfrac{3}{2} \Delta P V_{0}$$
$$Q_{V} = \dfrac{3}{2}P_{0}V_{0} > 0$$
Sendo positiva, essa quantidade será incluída em $$Q_{h}$$. Finalmente, vamos para a etapa correspondente à hipotenusa. Nela, vale que:
$$P(V) = 3P_{0} – \dfrac{P_{0}}{V_{0}}V$$
Usando a Lei do Gás Ideal:
$$nRT = PV = 3P_{0}V – \dfrac{P_{0}}{V_{0}}V^{2}$$
$$nRdT = (3 – 2 \dfrac{V}{V_{0}}) P_{0}dV$$
Usando esse resultado com a 1ª Lei da Termodinâmica:
$$nC_{V}dT = dQ – PdV$$
$$dQ = \dfrac{3}{2}nRdT + (3 – \dfrac{V}{V_{0}})P_{0}dV = (\dfrac{3}{2}(3 – 2 \dfrac{V}{V_{0}}) + (3 – \dfrac{V}{V_{0}}))P_{0}dV$$
$$dQ = (\dfrac{15}{2} – 4\dfrac{V}{V_{0}}) P_{0}dV$$
Assim, podemos ver que há instantes de ganho de calor e de perda de calor. A troca de sinal ocorre quando $$V_{f} = \dfrac{15}{8}V_{0}$$, e para volumes maiores que esse o gás perde calor. Assim, para calcular o calor recebido pela fonte quente, devemos integrar a função $$dQ$$ de $$V_{0}$$ até $$V_{f} = \dfrac{15}{8}V_{0}$$:
$$Q_{H} = P_{0} \int_{V_{0}}^{V_{f}} \dfrac{15}{2} – 4\dfrac{V}{V_{0}} \, dV$$
$$Q_{H} = P_{0} (\dfrac{15}{2}V – 2\dfrac{V^{2}}{V_{0}})|_{V_{0}}^{V_{f}}$$
$$Q_{H} = \dfrac{49}{32} P_{0}V_{0}$$
Finalmente podemos construir uma expressão para o calor recebido pela fonte quente:
$$Q_{h} = Q_{H} + Q_{V}$$
$$Q_{h} = \dfrac{49}{32} P_{0}V_{0} + \dfrac{3}{2}P_{0}V_{0} = \dfrac{97}{32}P_{0}V_{0}$$
Assim, o rendimento do ciclo é dado por:
$$\eta = \dfrac{W}{Q_{h}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}P_{0}V_{0}}{\dfrac{97}{32}P_{0}V_{0}}$$
$$\boxed{\eta = \dfrac{16}{97} = 16,5\% }$$
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$$\boxed{\eta = \dfrac{16}{97} = 16,5\% }$$
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