Escrito por Akira Ito e Gabriel Hemétrio
Iniciante
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Estática[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Note que há diversas maneiras para resolver esse problema, inclusive técnicas que utilizam-se de “força bruta” (balanceamento de torque e força). Entretanto, iremos buscar uma solução mais formal e elegante para resolver essa questão. Para isso, utilizaremos o Teorema das Três Forças e, a partir disso, resolveremos a questão geometricamente. Pelo teorema das três forças, caso um objeto esteja em equilíbrio estático sob a ação de três forças, elas devem se cruzar em um ponto do espaço. Em nosso problema, a normal \(N_1\) devido ao plano da esquerda, a normal \(N_2\) devido ao plano da direita e o peso \(mg\) se intersectam no ponto \(P\) representado na figura abaixo.
Defina um sistema de coordenadas com um eixo y vertical que seja positivo para cima e um eixo x horizontal que é positivo para a direita. A origem está no ponto que intersecta os dois planos. Deixe que as coordenadas de a extremidade esquerda da haste seja $$\left(x, y \right)$$. Então, as coordenadas da extremidade direita e do centro da barra são, respectivamente, $$\left(x + l \cos \theta, y – l \sin \theta \right)$$ e $$\left(x + l \cos \theta, y – l \sin \theta \right)$$. Para que as três forças sejam concorrentes, a coordenada $$x$$ do ponto de interseção das duas forças normais deve ser $$x + l \cos \theta $$ . Suponhamos que esta condição seja satisfeita e definamos as coordenadas do ponto de interseção das forças como $$\left(x+ l \cos \theta , k \right)$$. Assim, para que as coordenadas propostas do ponto de interseção sejam corretas, as inclinações entre os pontos de ação do forças normais e o ponto de interseção devem ser proporcionais ao valores mencionados.
$$\dfrac{y – l \sin \theta – k}{x + l \cos \theta – (x + l \frac{\cos \theta}{2})} = -\dfrac{1}{\tan \beta} $$
$$\dfrac{k – y}{x + l \frac{\cos \theta}{2} – x} = \dfrac{1}{\tan \alpha} $$
Resolvendo para $$\theta$$:
$$\boxed{ \tan \theta = \dfrac{1}{2} (\cot \beta – \cot \alpha) }$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\boxed{ \tan \theta = \dfrac{1}{2} (\cot \beta – \cot \alpha) }$$
[/spoiler]
Intermediário
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Mecânica, oscilações[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Para resolver este problema, basta modificar levemente o sistema conhecido que é o pêndulo simples. O período de um pêndulo simples é:
$$ T=2\pi\sqrt{\dfrac{L_{ef}}{a_{ef}}} $$
Em que $$L_{ef}$$ e $$a_{ef}$$ são o comprimento efetivo e a aceleração efetiva, respectivamente. Nesse problema, a aceleração (e consequentemente a força) perpendicular ao plano inclinado não interfere no período, afinal ela é é compensada pela normal. Assim, temos que:
$$ a_{ef}=g\sin{\alpha} $$
Quanto ao comprimento do fio, note que apenas a projeção do fio ao longo do plano é relevante, ou seja:
$$ L_{ef}=l\cos\beta $$
Afinal, se conectássemos um fio de comprimento $$l\cos\beta$$ na bolinha e na base da haste, nada mudaria no período. Assim, por comparação direta:
$$\boxed{T=2\pi\sqrt{\dfrac{l\cos\beta}{g\sin\alpha}}} $$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\boxed{T=2\pi\sqrt{\dfrac{l\cos\beta}{g\sin\alpha}}} $$
[/spoiler]
Avançado
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Mecânica[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
A condição de contato é a força normal ser maior ou igual a zero, logo, a normal é nula no caso limite. A bolinha da esquerda descola quando a tração no fio for máxima, que ocorro quando o fio está na vertical. Nessa situação, o equilíbrio na bolinha esquerda é:
$$T+N-mg=0$$
Mas $$N=0$$, então $$T=mg$$. Da conservação de momento linear na direção horizontal, podemos afirmar que os dois corpos possuem a mesma velocidade horizontal $$u$$, porém, em sentidos opostos. Da conservação de energia:
$$\dfrac{1}{2}mv^2=mgl+\dfrac{1}{2}(2m)u^2$$
$$ v^2=2gl+2u^2$$
Para encontrar o valor de $$u$$, basta calcular a força centrípeta. Mudando o referencial para a bolinha da esquerda, temos:
$$T+mg=\dfrac{m(2u)^2}{l}$$
$$u^2=\dfrac{gl}{2}$$
Substituindo na expressão anterior, obtemos:
$$\boxed{v=\sqrt{3gl}}$$
[/spoiler][spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\boxed{v=\sqrt{3gl}}$$
[/spoiler]