Escrito por Alex de Sousa e Paulo Oliveira
Iniciante
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Calorimetria[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Primeiro de tudo, precisamos calcular a variação de temperatura sofrida por cada esfera. Como cada uma recebe calor $$Q$$ e massa $$m$$, temos:
$$Q = m c \Delta T \rightarrow \Delta T = \dfrac{Q}{m c}$$
E calculando a dilatação térmica de cada um:
$$\Delta R = R \gamma \Delta T \Rightarrow \Delta R = \dfrac{\gamma Q R}{m c}$$
Como cada uma sofre a msm dilatação que ajuda as se aproximar, a distância que elas se aproximam é igual ao dobro da dilatação, portanto:
$$\boxed{\Delta L = \dfrac{2 \gamma Q R}{m c}}$$
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$$\boxed{\Delta L = \dfrac{2 \gamma Q R}{m c}}$$
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Intermediário
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Termometria[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Precisamos lembrar que quando definimos uma escala termométrica, ela é feita utilizando 2 pontos quaisquer e a variação deste, por exemplo:
Se quisermos definir a escala Briba nós só precisamos de dois pontos e números pra eles, por exemplo, poderia ser $$54 \, ^\circ \textrm{B}$$ no ponto de fusão de etanol $$- 115 ^\circ \textrm{C}$$ e $$140 \, ^\circ \textrm{B}$$ no ponto de fusão de etanol $$78,5 ^\circ \textrm{C}$$. E daí as fórmulas de conversão para Celsius ficariam: $$\dfrac{B – 54}{140 – 54} = \dfrac{C – 54}{78,5 – (-115)}$$.
Saindo daí, vamos fazer as fórmulas de conversão entre as temperaturas do termômetro defeituoso e o Celsius, utilizando a mesma lógica. As temperaturas de referência são o $$5 ^\circ \textrm{C}$$ reais e $$10 ^\circ \textrm{C’}$$ falsos e o $$45 ^\circ \textrm{C}$$ reais e $$30 ^\circ \textrm{C’}$$ falsos, portanto
$$\dfrac{C’ – 10}{30 – 10} = \dfrac{C – 5}{45 – 5}$$
Fazendo $$C = C’ = T$$, temos:
$$\dfrac{T – 10}{20} = \dfrac{T – 5}{40} \Rightarrow 2 \cdot (T – 10) = T – 5$$
$$\boxed{T = 25 \, ^\circ \textrm{C}}$$
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$$\boxed{T = 25 \, ^\circ \textrm{C}}$$
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Avançado
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Hidrodinâmica[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
(a) Quando um pacote ar passa do exterior para o interior da casa (subscritos 2 e 1, respectivamente), o trabalho feito sobre ele é igual a $$p_2 V_2$$, e o trabalho feito por ele é igual a $$p_1 V_1$$. Assim, o trabalho total feito sobre ele é $$p_2 V_2 – p_1 V_1$$. Como o ar é tratado como incompressível, o volume desse pacote não pode variar, i.e. $$V_1 = V_2 = V $$. Ainda, como não há troca de calor, o trabalho calculado deve ser igual à variação de energia do pacote de ar:
$$p_2 V- p_1 V = \rho V c_v (T_1 – T_2) + \dfrac{1}{2} \rho V (v_1^2 – v_2^2) + \rho V g (z_1 – z_2)$$
$$p_1 + \rho c_v T_1 + \dfrac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g z_1 = p_2+ \rho c_v T_2+\dfrac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g z_2$$
$$\boxed{p + \rho c_v T + \dfrac{1}{2} \rho v^2 + \rho g z=cte.}$$
(b) Numa região muito distante do tubo, devemos ter que a velocidade do ar é nula, $$v_2 = 0$$. Ainda, como o tubo é horizontal, $$z_1 = z_2$$. Assim,
$$p_1 + \rho c_v T_1 + \dfrac{1}{2} \rho v_1^2 = p_2 + \rho c_v T_2$$
Como o tubo possui área de secção reta $$A$$ constante, temos, pela segunda lei de Newton,
$$(p_1 – p_2) A = (\rho v_2^2 – \rho v_1^2) A \Rightarrow p_2 – p_1 =\rho v_1^2$$
Substituindo na equação anterior:
$$\boxed{v_1 = v = \sqrt{2 c_v ( T_1- T_2)} }$$
(c) Substituindo os valores do enunciado:
$$v = \sqrt{2 \cdot 750 \cdot 20} = \sqrt{3000} = 10 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \boxed{52,36 \, \mathrm{m \cdot s^{-1}}}$$
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(a) $$\boxed{p + \rho c_v T + \dfrac{1}{2} \rho v^2 + \rho g z=cte.}$$
(b) $$\boxed{v_1 = v = \sqrt{2 c_v ( T_1- T_2)} }$$
(c) $$\boxed{v = 52,36 \, \mathrm{m \cdot s^{-1}}}$$
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