Iniciante:
a)
Sabemos que,para lançamentos oblíquos no vácuo:
$$y(x)=tg(\theta)x-\frac{gx^2 sec^2(\theta)}{2(v_{o})^2}$$
Simplificando:
$$x^2-\frac{2(v_{o})^2 sen(\theta)cos(\theta)}{g}x+\frac{2(v_{o})^2 cos^2 (\theta). y}{g}=0$$
Obs:$$y=-H$$
Logo,por bhaskara:
$$x=\frac{(v_{o})^2 sen(\theta) cos(\theta)}{g}+\sqrt[2]{(\frac{(v_{o})^2 sen(\theta) cos(\theta)}{g})^2+\frac{2v_{o}H cos^2 (\theta)}{g}}$$
b)
De novo,simplifiquemos a equação para os lançamentos:
$$\frac{2(v_{o})^2 y}{g}=\frac{2(v_{o})^2 x tg(\theta)}{g} -x^2 tg^2 (\theta) -x^2 \Rightarrow x^2 tg^2 (\theta) – \frac{2(v_{o})^2 x tg(\theta)}{g}+x^2 +\frac{2 (v_{o})^2 y}{g}=0$$
Perceba que a função não tem raíz para alguns (x,y),nos valores limite deles temos os pontos da parábola de segurança,que determina os pontos máximos que a partícula pode alcançar dado um par $$(v_{o},g)$$
Pela condiçãos de existência das raízes:
$$b^2>_4ac$$
Na parábola de segurança:
$$b^2=4ac$$
Plotando tudo e simplificando:
$$(\frac{(v_{o})^2}{g})^2=x^2+\frac{2 (v_{o})^2 y}{g}$$
Simplificando mais:
$$ x=\frac{(v_{o})^2 \sqrt[2]{1-\frac{2gy}{(v_{o})^2}}}{g}$$
Mas no vertíce $$tg(\theta)=-\frac{b}{2a}$$
Ou seja,simplificando tudo:
$$tg(\theta)=\frac{v_{o}}{\sqrt[2]{(v_{o})^2+2gH}}$$
Intermediário:
Pelo enunciado sabemos que a função de onda deve se anular em 0 e a,então seu comprimento de onda é análogo ao de uma onda estacionária numa corda com extremidades fixas:
$$\lambda=\frac{2L}{n}$$
Com n inteiro
Usando:
$$E=\frac{p^2}{2m}$$ (Partícula Massiva)
Ou
$$E=\frac{hc}{\lambda}$$ (Foton)
E:
$$p=\frac{h}{\lambda}$$
Tal que:
$$E_{foton}=\frac{nhc}{2L}$$
E:
$$E_{Massiva}=\frac{n^2 h^2}{8mL^2} $$
Avançado:
Em três dimensões:
$$E(n_{x},n_{y},n_{z})=\frac{((n_x)^2+(n_y)^2+(n_z)^2)h^2}{8ma^2}$$
Mas:
$$P=-\frac{dE}{dV}$$
$$V=a^3$$
Logo:
$$P=\frac{2E}{3V}$$
Mas,o sistema respeitando a equação dos gases ideais:
$$PV=NKT$$
Tendo um elétron preso na caixa,N=1,usando os resultados obtidos e plotando:
$$ T(n_{x},n_{y},n_{z})=\frac{h^2 ((n_{x})^2 +(n_{y})^2 +(n_{z})^2 )}{12ma^2 k}$$
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