Soluções Física – Semana 23

Iniciante:
A velocidade dum ponto da esfera é a velocidade do ponto em relação ao centro de massa mais a velocidade do centro de massa,ou seja:

$$V_{cm}-\omega r cos(\theta)=V$$

Em que r é a distância do ponto ao centro de massa e theta é o cosseno que o vetor r faz com o eixo y.

Se no chão a velocidade é 0 (cos(\theta)=1 e r=R):

$$V_{cm}=\omega R$$

Intermediário:

Sabemos que o momento angular de uma partícula de massa m,e a uma distância r_{n}=\frac{nR}{N} (sendo n um inteiro que é maior ou igual a um e menor ou igual a N e R é a distância da última partícula à origem)

Se todas as massas são iguais:

$$m=\frac{M}{N}$$

O momento angular do sistema é a soma dos momentos angulares:

$$L=\sum^N _{1}mvr_{i}=\sum^N _ {1} m\omega (r_{i})^2$$

$$L=\frac{M\omega R^2}{N^3} \sum^N _{1} n^2$$

$$n^2=n(n-1)+n=2C^n _{2}+ C^n_{1}$$

E usando propriedades do triângulo de pascal:

$$\sum^N _{1} n^2=\frac{(2N+1)(N+1)N}{6}$$

E usando $$L=I\omega$$

$$I(N,M,R)=\frac{MR^2 (2N+1)(N+1)N}{6N^3}$$

Se N—>$$\infty$$

$$I(N,M,R)=\frac{MR^2}{3}$$

Avançado:

Temos que um sistema termodinâmico,em geral,tende a respeitar:

$$S=k ln(\Omega)$$

Em que $$\Omega$$ é o número de microestados do sistema,que é dado por

$$\Omega(N,N_{1},N_{2})=C^N _{N_{1}}$$

Sendo $N_{1}$ o número de partí ulas com momento de dipolo magnético m,e $N_{2}$ com -m.

Usando aproximação de stiriling($ln(N!)=Nln(N)-N$),e que $N_{2}=N-N_{1}$,fatos também notáveis:

$$E=N_{2} mB -N_{1} mB$$

$$N_{1}=\frac{N}{2}(1-\frac{u}{mB})$$

Se definido:

$$\frac{E}{N}=u$$

Juntando tudo:

$$\frac{S}{N}=s=-\frac{k}{2}[(1-\frac{u}{mB})ln (1-\frac{u}{mB})+(1+\frac{u}{mB})ln(1+\frac{u}{mB})]$$

Usando:

$$\frac{ds}{du}=\frac{1}{T}$$

e simplificando:

$$u=-mB tanh(\frac{mB}{kT})$$

Mas:

$$u=-m_{medio} B$$

$$m_{medio}=m \ tanh(\frac{mB}{kT})$$

O que faz sentido,já que tanh está entre -1 e 1($$|m_{medio}|<|m|$$,não há alinhamento total,isso implicaria B infinito ou T=0),no caso,o $$m_{medio}$$ para temperaturas positivas e campos magnéticos muito grandes é praticamente m (Domínios totalmente alinhados com o campo magnético externo),enquanto para temperaturas negativas é -m,(Domínios totalmente desalinhados)

Outro exercício interessante é achar a susceptibilidade magnética do meio:

$$ksi_{m}=\frac{dm}{dH}$$

$$ksi_{m}=\frac{\mu_{o} m^2}{kT} sech^2 (\frac{mB}{kT}$$

Que é a lei de Pierre Curie:

$$ksi_{m}=\frac{C}{T}$$

Encontrada experimentalmente pelo mesmo.Logo,temos um belo modelo físico!