Soluções Física – Semana 24

Iniciante

Nós sabemos que a CNTP, por convenção, temos:

$T=0^{o}C=273K$

$P=1atm=10^5 Pa$

$V=22,4 L=22,4 . 10^{-3} m^{3}$

E com $n= 1 mol$,podemos plotar na equação de Clapeyron e achar a constante $R$

$PV=nRT$

$R=\frac{PV}{nR}=8,2 \frac{J}{K mol}$

Intermediário

Solução enviada por Abner Moreira:

Sendo a velocidade terminal constante,

$mg=F+E$

$mg=6\pi \eta rv + \rho_{o} gV\ \ \ (1)$

$m=\rho_{e}V=\rho_{e}\frac{4\pi r^3}{3}\ \ \ \ (2)$

Aplicando $(2)$ em $(1)$ e isolando $v$:

$v=\frac{2gr^2 (\rho_{e} -\rho_{o})}{9\eta}$

Avançado

Para encontrar esse diferencial de probabilidade, precisamos apenas colocar um fator de probabilidade multiplicando o volume do espaço de fase (desconsideraremos a parte do momento, pois é um termo à parte), que é (em coordenadas esféricas):

$d\Gamma=4\pi r^2 dr$

Onde $\Gamma$ é o volume do espaço de fase

Logo, nosso $dP(r)$ é do tipo:

$dP(r)=f(r)dr=g(r)d\Gamma=g(r).4\pi r^2 dr$

Nosso g(r) calcula a probabilidade por volume de fase, isso deve ser do tipo:

$g(r)=A e^-\left (\frac{U}{KT}\right)$

Nos achamos A se fizermos $P_{total}=1$

Assim, devemos integrar $dP(r)$ em todo espaço e igualar a 1.

$4\pi A \int r^2 dr e^-(\frac{ar^2}{KT})=1$

Multiplicando por $(\frac{a}{KT})^\frac{3}{2}$ dos dois lados, e definindo:

$x^2=\frac{ar^2}{KT}$

$4\pi A \int x^2 e^-(x)^2 dx=(\frac{a}{KT})^\frac{3}{2}$

Essa integral tem solução por partes:

$\int x^2 e^-x^2 dx=\frac{-x e^-x^2}{2}+\frac{\int e^-x^2 dx}{2}$

É sabido que:

$\int e^-x^2 dx=\frac{\sqrt[2]{\pi}}{2}=\frac{I}{2}$

Prova:

Vamos fazer a mesma integral com três índices, x, y e z. Podemos trocar essa notação por uma polar, já que vamos variar todos índices de zero a infinito. (Só estamos mudando a forma de contagem)

$I^3=\int \int \int e^-(x^2+y^2+z^2) dx dy dz=\int 4\pi e^-(r^2) \ r^2 dr=2\pi \int e^-r^2 dr$

A última integral é de zero a infinito, enquanto a integral $I$ vai de $-\infty$ a $+\infty$. Logo

$I^3=2\pi \frac{I}{2}=\pi I$

$I=\sqrt[2]{\pi}$

Logo:

$A= (\frac{a}{\pi KT})^\frac{3}{2}$

Logo:
a,c)
$dP(r)=(\frac{a}{\pi KT})^\frac{3}{2} 4\pi r^2 e^-(\frac{ar^2}{KT}) dr$

$dN(r)=N_{total}.dP(r)$

$n_{o}=(\frac{a}{\pi KT})^3/2$

$dN(r)=n_{o}4\pi r^2 e^-(\frac{ar^2}{KT}) .dr$

b)

A distância mais provável ocorrerá quando o diferencial de probabilidade for máximo,ou seja:

$\frac{dP}{dr}=$Máximo

$\frac{d^2 P}{dr^2}=0$

$2r e^-(\frac{-ar^2}{KT}) -2\frac{ar^3}{KT}e^(\frac{-ar^2}{KT})=0$

$r_{mais\ provavel}=\sqrt[2]{\frac{KT}{a}}$

d)
A concentração no centro é $n_{o}$, se fizermos a temperatura decrescer em $\eta$

$n_{o} \propto T^\frac{-3}{2}$

$\frac{n_{o}(\frac{T}{\eta})}{n_{o}(T)}=\eta^\frac{3}{2}$