Iniciante:
Situação Física: O tempo de queda de um objeto lançado verticalmente para cima depende exclusivamente da altura máxima que este chega e da aceleração (para baixo) conferida ao mesmo (isto desconsiderando efeitos como resistência do ar), havendo inclusive a clássica relação: $$h=\frac{gt^2}{2}$$, considerando que na queda a velocidade inicial é nula, pois há a inversão do movimento. E sabendo que há simetria o movimento, sabemos que o tempo de queda equivale ao de subida. Temos, pela conservação da energia, que a altura máxima atingida pelo corpo se relaciona com a velocidade inicial deste. E para que o requerido no desafio ocorra, deve-se jogar a bola tal que ela alcance exatamente a altura $$h$$, tendo o menor tempo de queda, como visto na eq. já citada
Resolução: Conservando a energia:
$$mhg=\frac{1}{2}mv_{0}^2$$
Nos levando a:
$$v_{0}=\sqrt{2hg}$$
Intermediário:
Situação Física: Neste caso, não podemos conservar a energia total pois perdemos a energia potência da mola que é removida. Contudo o restante da energia é conservada e podemos obter nossos resultados usando deste fato.
Resolução: Energia inicial (lembrando que inicialmente as duas molas são deformadas e $$d$$):
$$E_{0}=\frac{1}{2}kd^2+\frac{1}{2}kd^2$$
Energia na mola da direita em $$t=0$$ $$rightarrow$$ energia perdida:
$$E_{p}=\frac{1}{2}k\frac{d}{2}^2=\frac{kd^2}{8}$$
Energia final:
$$E_{f}=E_{0}-E_{p}=\frac{7}{8}kd^2$$
E sabemos que, sendo $$x$$ a nova amplitude:
$$E_{f}=\frac{1}{2}kx^2$$
Por fim:
$$\frac{7}{8}kd^2=\frac{1}{2}kx^2$$
$$\rightarrow x=\frac{\sqrt{7}}{2}d$$
Mas, se energia foi retirada do sistema, como pode a nova oscilação ser maior? Bem simples! Há somente uma mola atuando na massa agora, de modo que se move a bolinha com menos esforço, ou seja, menos energia.
Avançado:
Situação Física: Tendo a condutividade da água, podemos trata-la como um fio infinito de raio $$R$$. Tendo um fio infinito é bem simples obter o campo gerado por este a uma distância $$R$$, traçando uma Gaussiana, devido a simetria cilíndrica. Logo nos resta obter a relação entre campo e densidade de corrente.
Resolução: Tendo a condutividade do fio (de água) podemos estabelecer sua resistência usando:
$$R=\frac{l}{A\sigma}$$
Onde $$l$$ é o comprimento e $$A$$ a área transversal do fio. Também sabemos que:
$$V=Ri\rightarrow i=\frac{V}{R}=\frac{VA\sigma}{l}$$
Sendo $$V$$ o potencial. Porém temos que a relação do potencia com o campo se da como:
$$V=El\rightarrow E=\frac{V}{l}$$
E para a densidade de corrente ($$J$$):
$$J=frac{i}{A}=\frac{V}{l}\sigma\rightarrow J=E\sigma$$
E, para obter o campo gerado pelo fio (inicial, não o de água) utilizamos a equação:
$$\int{E.dA}=\frac{Q}{\epsilon}$$
Sendo $$Q$$ dada pela carga neste fio, dada por:
$$Q=l\lambda$$
Lembrando que a área referia é a de um cilindro, chegamos a:
$$E=\frac{Q}{2Rl\pi\epsilon}=\frac{l\lambda}{2Rl\pi\epsilon}$$
Por fim, chegamos a:
$$J=\frac{\sigma\lambda}{2R\pi\epsilon}$$
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