Iniciante:

Situação Física: Devemos lembrar das dependências do período da cada sistema. Para o “massa-mola”, a dependência se da somente em relação a constante elástica da mesma e a massa, sendo que a gravidade somente afetaria no ponto de equilíbrio (caso fosse posto na vertical). Já para o pêndulo, o período depende do comprimento do fio e da gravidade. Mesmo que você não soubesse a dependência exata, poderia somente ver as forças externas que atuam e cada sistema (no primeiro caso a restituição  da mola e no segundo peso). Como uma simples análise dimensional podemos saber como se da tal dependência.

Resolução: Como já percebemos, para o sistema “massa-mola” não há dependência da gravidade, logo o período não muda. Para o pêndulo, temos:

$T = [g]^\alpha [l]^\beta$

Sendo $T$ o período, $g$ a gravidade e $l$ o comprimento do fio. Colocando a dimensão de cada:

$s^1 m^0 = [m]^\alpha [s]^{-2\alpha} [m]^\beta$

Obtemos assim:

$\alpha = -\beta$   e   $\beta = \frac{1}{2}$

E assim vemos que o período depende  do inverso da raiz da velocidade. E assim tempos:

$g'=4g\rightarrow T'=\frac{T}{2} = 2$segundos

Para mais sobre análise dimensional, dê uma olhadinha na Ideia 4

Intermediário: 

Situação Física: A primeira lente gerará uma imagem do objeto, a qual servirá de objeto para a segunda lente. Juntando as equações, obtemos uma relação entre a posição da segunda imagem e a do objeto.

Resolução: Temos, para a primeira imagem:

(I) – $f_{1}^{-1}=x^{-1}+y^{-1}$

Onde $x$ é a distância do objeto a lente e $y$ da imagem a lente. Agora para a segunda lente, a imagem está a uma distância $d-y$ desta, logo:

(II) – $f_{2}^{-1}=(d-y)^{-1}+k^{-1}$

Sendo $k$ a posição da imagem final. Pela equação (I), obtemos $y$:

$y=\frac{xf_{1}}{x-f_{1}}$

Substituindo em (II):

$f_{2}^{-1}=(d-\frac{xf_{1}}{x-f_{1}})^{-1}+k^{-1}\rightarrow k^{-1}f_{2}^{-1}-(d-\frac{xf_{1}}{x-f_{1}})^{-1}$

Assim temos:

$k=(\frac{1}{f_{2}}-\frac{x-f_{1}}{d(x-f_{1})-xf_{1}})^{-1}\rightarrow k=\frac{f_{2}dx-f_{1}f{2}d-f_{2}f{1}x-f_{2}f_{2}x}{f_{2}f{1}-df_{1}+x(d-f_{1}-f_{2})}$

Isolando o $x$, podemos ver que os temos dependentes de $x$ somem quando:

$d=f_{1}+f_{2}$

Também é possível resolver derivando a função em $x$ e dizendo que o resultado é $0$ (pois não há variação devido a $x$).

Avançado:

Situação Física: Devido a um equilíbrio entre a resultante centrípeta e a força gravitacional, a partícula possui órbita de um certo raio $r_{0}$. Equilibrando as forças, sabendo que a força gravitacional corresponde a derivada em $r$ do potencial , encontramos tal raio. Para a oscilação, podemos usar coordenadas polares, porém um modo menos trabalhoso é usar que a frequência corresponde a raiz da derivada segunda do potencial efetivo dividida pela massa.

Resolução: 

a) Para a força:

$F=\frac{d\beta r^k}{dr}=\beta kr^{k-1}\rightarrow \frac{mv^2}{r}=\beta kr^{k-1}$

Temos também:

$v^2=\frac{L^2}{m^2r^2}$

E assim obtemos:

$\frac{L^2}{mr^3}=\beta kr^{k-1}\rightarrow r_{0}=(\frac{L^2}{m\beta k})^{\frac{1}{k+2}}$

B) Sabemos que a frequência de oscilação se da por:

$w=\sqrt{\frac{V''_{eff}(r_{0})}{m}}$

Onde $V_{eff}(r_{0})$ (potencial efetivo em $r_{0}$) se da por:

$V_{eff}=\beta r^k +\frac{L^2}{mr^2}$

Peguemos a segunda derivada do potencial:

$V'_{eff}=\frac{d(\beta r^k +\frac{L^2}{2mr^2})}{dr}=\beta kr^{k-1}-2\frac{L^2}{2mr^3}$

$V''_{eff}=\frac{dV'_{eff}}{dr}=\beta k(k-1)r^{k-2}+\frac{3L^2}{mr^4}\rightarrow V''_{eff}=frac{1}{r^4}(\frac{3L^2}{m}+\beta k(k-1)r^{k+2})$

Os $r$ correspondem nesse caso a $r_{0}$. Substituindo (para deixar bonito) temos:

$V''_{eff}(r_{0})=\frac{L^2(k+2)}{mr^4_{0}}$

E, por fim:

$w=\frac{L}{mr^2_{0}}\sqrt{k+2}$

Podemos substituir $r_{0}$ novamente, mas assim se torna mais prático de trabalhar.